運(yùn)算放大器電路固有噪聲分析(一) - 全文

??????? 我們可將噪聲定義為電子系統(tǒng)中任何不需要的信號(hào)。噪聲會(huì)導(dǎo)致音頻信號(hào)質(zhì)量下降以及精確測(cè)量方面的錯(cuò)誤。板級(jí)與系統(tǒng)級(jí)電子設(shè)計(jì)工程師希望能確定其設(shè)計(jì)方案在最差條件下的噪聲到底有多大，并找到降低噪聲的方法以及準(zhǔn)確確認(rèn)其設(shè)計(jì)方案可行性的測(cè)量技術(shù)。

　　噪聲包括固有噪聲及外部噪聲，這兩種基本類型的噪聲均會(huì)影響電子電路的性能。外部噪聲來(lái)自外部噪聲源，典型例子包括數(shù)字開(kāi)關(guān)、60Hz 噪聲以及電源開(kāi)關(guān)等。固有噪聲由電路元件本身生成，最常見(jiàn)的例子包括寬帶噪聲、熱噪聲以及閃爍噪聲等。本系列文章將介紹如何通過(guò)計(jì)算來(lái)預(yù)測(cè)電路的固有噪聲大小，如何采用 SPICE模擬技術(shù)，以及噪聲測(cè)量技術(shù)等。

　　熱噪聲

　　熱噪聲由導(dǎo)體中電子的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生。由于運(yùn)動(dòng)會(huì)隨溫度的升高而加劇，因此熱噪聲的幅度會(huì)隨溫度的上升而提高。我們可將熱噪聲視為組件(如電阻器)電壓的不規(guī)則變化。圖 1.1 顯示了標(biāo)準(zhǔn)示波器測(cè)得的一定時(shí)域中熱噪聲波形，我們從圖中還可看到，如果從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來(lái)分析隨機(jī)信號(hào)的話，那么它可表現(xiàn)為高斯分布曲線。我們給出分布曲線的側(cè)面圖，從中可以看出它與時(shí)域信號(hào)之間的關(guān)系。

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　　圖 1.1: 在時(shí)間域中顯示白噪聲以及統(tǒng)計(jì)學(xué)分析結(jié)果

　　熱噪聲信號(hào)所包含的功率與溫度及帶寬直接成正比。請(qǐng)注意，我們可簡(jiǎn)單應(yīng)用功率方程式來(lái)表達(dá)電壓與電阻之間的關(guān)系 (見(jiàn)方程式1.1)，根據(jù)該表達(dá)式，我們可以估算出電路均方根 (RMS) 噪聲的大小。此外，它還說(shuō)明了在低噪聲電路中盡可能采用低電阻元件的重要性。

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　　方程式 1.1：熱電壓

　　方程式 1.1 中有一點(diǎn)值得重視的是，根據(jù)該表達(dá)式我們還可計(jì)算出 RMS 噪聲電壓。在大多數(shù)情況下，工程師希望了解“最差條件下噪聲會(huì)有多嚴(yán)重?”換言之，他們非常關(guān)心峰峰值電壓的情況。如果我們要將 RMS 熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲的話，那么必須記住的一點(diǎn)是：噪聲會(huì)表現(xiàn)為高斯分布曲線。這里有一些單憑經(jīng)驗(yàn)的方法即根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)上的關(guān)系，我們可將 RMS 熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲。不過(guò)，在介紹有關(guān)方法前，我想先談?wù)勔恍?shù)學(xué)方面的基本原理。本文的重點(diǎn)在于介紹統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的基本理論，隨后幾篇文章將討論實(shí)際模擬電路的測(cè)量與分析事宜。

　　概率密度函數(shù)：

　　構(gòu)成正態(tài)分布函數(shù)的數(shù)學(xué)方程式稱作“概率密度函數(shù)”(見(jiàn)方程式 1.2)。根據(jù)一段時(shí)間內(nèi)測(cè)得的噪聲電壓繪制出相應(yīng)的柱狀圖，從該柱狀圖，我們可以大致看出函數(shù)所表達(dá)的形狀。圖 1.2 顯示了測(cè)得的噪聲柱狀圖，并給出了相應(yīng)的概率密度函數(shù)。

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　　方程式 1.2: 高斯曲線分布曲線對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)

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　　圖1.2: 根據(jù)相應(yīng)的概率密度函數(shù)所繪制的分布曲線

　　概率分布函數(shù)：

　　概率分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分。根據(jù)該函數(shù)，我們可了解某事件在給定的時(shí)間段內(nèi)發(fā)生的概率(見(jiàn)方程式 1.3 與圖 1.3)。舉例來(lái)說(shuō)，我們可以假定圖 1.4 為噪聲概率分布函數(shù)，該函數(shù)告訴我們，在任意時(shí)間點(diǎn)上，在 -1V 與 +1V 之間(即 (-1, 1) 區(qū)間內(nèi))檢測(cè)到噪聲電壓的概率為 30%。

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　　方程式 1.3: 概率分布函數(shù)

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　　圖 1.3: 概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)

　　概率分布函數(shù)對(duì)我們將 RMS熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲非常有用。請(qǐng)注意，高斯分布曲線的尾部是無(wú)限延伸的，這就是說(shuō)，任何噪聲電壓都是可能的。盡管理論上確實(shí)如此，但就實(shí)際情況而言，極大的瞬時(shí)噪聲電壓發(fā)生的可能性不大。舉例來(lái)說(shuō)，我們檢測(cè)到噪聲電壓在 -3σ 與 +3σ 之間的概率為 99.7 %。換言之，噪聲電壓超出該范圍的概率僅有0.3 %。因此，我們通常將噪聲信號(hào)的峰值估算為±3σ(即 6σ)。請(qǐng)注意，也有些工程師將噪聲的峰值估算為 6.6σ。人們對(duì)到底如何估計(jì)這個(gè)數(shù)值沒(méi)有定論。圖 1.4 顯示，68% 的噪聲都會(huì)不超過(guò) 2σ。表 1.1 總結(jié)了測(cè)量噪聲電壓時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差與概率之間的關(guān)系。

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　　圖 1.4: 標(biāo)準(zhǔn)偏差與峰值噪聲間的關(guān)系

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　　表 1.1: 標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)與測(cè)量概率百分比

　　因此，在一定的標(biāo)準(zhǔn)偏差條件下，我們可以根據(jù)關(guān)系式來(lái)估算峰值對(duì)峰值噪聲。不過(guò)，總體來(lái)說(shuō)，我們還是希望將 RMS 噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲。人們常常假定 RMS 與標(biāo)準(zhǔn)偏差相同，不過(guò)事實(shí)并非總是如此。這兩個(gè)值只有在不存在 DC 元件(DC 元件為平均值 μ)的情況下才相同。就熱噪聲而言，由于沒(méi)有 DC 元件，因此標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 值相等。我們?cè)诟戒浿信e出了“標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 相等”和“標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 不相等”兩個(gè)不同的示例。

　　文章開(kāi)頭就給出了計(jì)算 RMS 熱噪聲電壓的方程式。還有一種計(jì)算 RMS 噪聲電壓的方法就是先測(cè)量大量離散點(diǎn)，然后采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法估算標(biāo)準(zhǔn)偏差。舉例來(lái)說(shuō)，如果我們從模數(shù) (A/D) 轉(zhuǎn)換器中獲得大量采樣，那么我們就能運(yùn)用方程式 1.4, 1.5 及 1.6 來(lái)計(jì)算噪聲信號(hào)的平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及 RMS 值。附錄中的示例 1.3 顯示了在 Basic程序中如何運(yùn)用上述方程式。我們?cè)诟戒浿羞€列出了一組更全面的統(tǒng)計(jì)方程供您參考。

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　　方程式 1.4、1.5、1.6：離散數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方程

　　本文最后要介紹的概念是噪聲信號(hào)的疊加。為了疊加兩個(gè)噪聲信號(hào)，我們必須先了解信號(hào)是否相關(guān)。來(lái)自兩個(gè)不同信號(hào)源的噪聲信號(hào)彼此不相關(guān)。舉例來(lái)說(shuō)，來(lái)自兩個(gè)不同電阻器或兩個(gè)不同運(yùn)算放大器的噪聲是彼此不相關(guān)的。不過(guò)，噪聲源通過(guò)反饋機(jī)制會(huì)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。什么是相關(guān)噪聲源疊加呢?一個(gè)很好的實(shí)例就是帶噪聲消除功能的耳機(jī)，其可通過(guò)累加反向相關(guān)的噪聲來(lái)消除噪聲。方程式 1.7 顯示了如何疊加相關(guān)噪聲信號(hào)。請(qǐng)注意，就帶噪聲消除功能的耳機(jī)而言，相關(guān)系數(shù) C 應(yīng)等于 - 1。

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　　方程式 1.7: 疊加隨機(jī)相關(guān)信號(hào)

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　　方程式1.8: 疊加隨機(jī)不相關(guān)的信號(hào)

　　在大多數(shù)情況下，我們都要疊加不相關(guān)的噪聲源(見(jiàn)方程式 1.8)。在這種情況下疊加噪聲，我們要通過(guò)勾股定理得到兩個(gè)矢量噪聲的和。圖 1.5 顯示了疊加噪聲源的情況。我們通常可做近似地估計(jì)，如果一個(gè)噪聲源強(qiáng)度為另一個(gè)的三分之一，較小的噪聲源可忽略不計(jì)。

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　　圖 1.5: 噪聲勾股定理

　　本文總結(jié)與后續(xù)文章介紹：

　　在關(guān)于噪聲的系列文章中，本文介紹了噪聲的概念，談?wù)摿嗽肼暦治鏊璧囊恍┙y(tǒng)計(jì)學(xué)基本原理。本系列文章中都將用到這些基礎(chǔ)知識(shí)。本系列文章的第二部分將介紹運(yùn)算放大器的噪聲模型，并給出計(jì)算總輸出噪聲的一些方法。