利用開關(guān)電容電路與運算放大器設(shè)計開關(guān)電容有源濾波器的性能研究

最基本的開關(guān)電容電路是由電子開關(guān)和電容組成的，主要應(yīng)用是構(gòu)成各種低通、高通、帶通、帶阻等開關(guān)電容濾波器（Switched-Capacitor Filter，SCF）。將開關(guān)電容電路與運算放大器結(jié)合，組成的開關(guān)電容有源濾波器具有很多奇特的性質(zhì)，但由于引入了電子開關(guān)，對電路特性進(jìn)行嚴(yán)密分析變得異常困難，目前已有的分析方法都只是在一定條件下從一個側(cè)面進(jìn)行近似分析，本文立足于最基本的電路理論，借助計算機(jī)系統(tǒng)對其進(jìn)行復(fù)雜而嚴(yán)格的分析計算，最終得到了具有普遍意義的結(jié)論，上述文獻(xiàn)的結(jié)果只是該普遍性結(jié)論的特例。

1 SCF電路

開關(guān)電容有源濾波器電路如圖1（a），其中S1和S2是由周期為2T的方波信號控制的理想電子開關(guān)，方波控制信號p（t）波形如圖1（b），其占空系數(shù)為0.5。即在2kT

2 時域法特性分析

時域分析法的思路是根據(jù)圖1的電路結(jié)構(gòu)建立電路的微分方程（以輸出電壓為研究對象）。轉(zhuǎn)換周期為2T的電子開關(guān)的方波控制信號可表示為周期為2T的周期信號p（t）與單位階躍信號ε（t）的乘積：

式中：k=0，1，2，…。fT=1／（2T）為開關(guān)頻率，電路在k時段的時域響應(yīng)（輸出電壓）表示為hk（t），并設(shè)：

（1）電容C在t=0_時刻電壓為零（0_，kT_等帶下劃線符號表示相應(yīng)時刻的前瞬，下同），即：

（2）因為狄拉克δ函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)h（t）的傅里葉變換即為電路的頻率響應(yīng)函數(shù)，即系統(tǒng)（頻譜）函數(shù)H（Ω），故設(shè)電路輸入信號（激勵）為δ函數(shù)，即：

由于電子開關(guān)周期性切換，RC電路對外電路的影響表現(xiàn)為：下一時段的輸出電壓初值是上一時段末時刻輸出電壓值乘（-1），即：

圖1（a）中理想運放反相端為虛地，第0時段（即k=0，0≤t

由式（8）可見，第k段的非零值時區(qū)為（kT，（k+1）T_），即各時段非零值區(qū)間互不重疊，對hk（t）關(guān)于k求和，得開關(guān)電容電路（對外）的單位沖激零狀態(tài)響應(yīng)h（t）為：

特別注意，求和式是一周期為2T的周期方波p（t）與單位階躍信號ε（t）的乘積，對上式取Fourier積分變換即得到開關(guān)電容電路系統(tǒng)頻譜函數(shù)（用j表示虛數(shù)單位，下同）：

也可以根據(jù)式（1）定義的周期為2T的開關(guān)方波信號p（t），將式（9）改寫為：

易證式（13）與式（10）完全一致，故其幅頻特性∣H（Ω）∣仍與式（11）相同。

3 頻域法特性分析

開關(guān)周期切換，形成的RC并聯(lián)支路對外電路的等效電流ie（t）為：

上式說明，Ie（Ω）是輸入電流頻譜I（Ω）周期延拓的組合，周期為Ω0=2π／T。各電流分量流過RC并聯(lián)支路時的電壓為相應(yīng)電流分量與RC支路阻抗（R／（1+jωτ），ω=Ω（2n+1）π／T）的乘積，于是輸出電壓頻譜U（Ω）為：

為求系統(tǒng)頻譜函數(shù)，取i（t）=-ui（t）／R1=-δ（t）／R1，I（Ω）=-1／R1，得到系統(tǒng)頻譜函數(shù)：

其中R／R1=τ／τ1，結(jié)果與式（14）一致，幅頻特性∣H（Ω）∣仍與式（11）相同。

4 結(jié) 語

給定圖1（a）電路參數(shù)τ和τ1，選擇α=τ／T分別取不同值時，根據(jù)式（11）做出的歸一化幅頻特性曲線如圖2所示，結(jié)合對式（11）做深入分析表明：

（1）α=τ／T較大時電路是梳齒幅度按奇數(shù)倒數(shù)規(guī)律衰減的梳狀濾波器，通帶中心頻率（梳齒）為：

此時圖1（a）電路允許f=fT，f=3fT，f=5fT，…等頻率成份通過，且隨著頻率的升高，輸出幅度按奇數(shù)倒數(shù)規(guī)律逐漸減小。

（2）α=τ／T較大時，f=（2n）fT（其中n=0，1，2，…）是系統(tǒng)的阻帶中心頻率，落在這些頻點上的信號將獲得最小傳輸系數(shù)，最小傳輸系數(shù)（即梳狀濾波器幅頻曲線谷底高度）為：

（3）該梳狀濾波器梳齒間隔（即阻帶中心頻率或通帶中心頻率間隔）為△f=2fT。

比較圖2可看出：開關(guān)轉(zhuǎn)換周期2T（相對于電路時間常數(shù)τ）越小，α越大，梳齒間谷底越接近零，梳齒越尖銳（即梳齒帶寬越窄）。例如，計算發(fā)現(xiàn)：圖2（a）中，α=τ／T=10，第一梳齒通帶寬度為B0.7=0.394fT。圖2（b）中，α=τ／T=2，第一梳齒通帶寬度為B0.7=2.33fT。

（4）隨著電子開關(guān)切換周期2T增大（α減?。猃X間谷底最小值逐漸增大。電路逐漸過渡為幅頻特性曲線輕微起伏的低通濾波器，如圖2（d）所示。低通濾波器傳輸函數(shù)極大值為：

由∣H（Ω）∣=0.707∣H（Ω）∣max可以求得低通濾波器上限截止頻率，結(jié)果表明，對于低通濾波器．仍為α越大，低通濾波器上限頻率（即帶寬）越小。

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