Butterworth濾波器設計的詳解

從本節(jié)開始深入討論各種不同濾波器設計，本節(jié)是Butterworth濾波器綜合設計，結(jié)合之前電路仿真的工作，現(xiàn)將Butterworth型濾波器集成到了濾波器設計App中，并提供一個試用版本，提供GitHub開源鏈接。

Butterworth濾波器特點和用途

Butterworth濾波器是Stephen Butterworth于1930年首先發(fā)表于眾參考[模擬無源濾波器設計（一）]，特點是其具有最平坦頻率響應，故很多地方將其稱為最平響應濾波器 ，其最平坦響應濾波器可能會被有些工程師所誤解，認為其頻率響應最為平坦，實際上這里最平響應是指在DC附近(低通濾波器)具有最平坦響應，也就是說在頻率為0處其頻率響應高階導數(shù)為0(注，由于其傳輸函數(shù)中含有特征多項式 ， 為濾波器階數(shù)，所以不管求導多少次都在0頻率處取得0值)。實際上Butterworth濾波器在接近截止頻率處頻率響應并不好。

Butterworth濾波器的另外一個特點是其數(shù)學分析和網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)都比較簡單，有較好的相位特性，濾波器所需要的器件容易獲得故其得到了廣泛的應用。

關(guān)于Butterworth本人的相關(guān)信息可以參考翻譯文章。

匹配型Butterworth濾波器綜合

匹配型Butterworth濾波器的幅頻響應為: 是 對 歸一化頻率，即 .

由之前討論的由功率反射一套理論可以由幅頻響應得到功率損失，進而由反射相關(guān)理論得到輸入阻抗，最后由輾轉(zhuǎn)相除法得到器件值，由之前的阻抗值：

其中 固定為 , 比較難些，稱其為巴特沃斯多項式，這里直接引用計算得到的通項公式： 式中： 由輾轉(zhuǎn)相除的方法計算前幾項并總結(jié)規(guī)律得到，第 個枝節(jié)器件值為：

任意頻率處衰減的濾波器綜合

以上是對截止頻率為-3dB下的濾波器綜合，當截止頻率為 并且此處的頻率響應為: 在 的衰減為： 系數(shù) 和反射系數(shù)有關(guān)： 當反射系數(shù) 為0.707時，有一半功率反射時，即-3dB衰減，有 ，這時頻率響應曲線和匹配型公式一致。

此時對應的元件公式為: 其中：

由衰減確定濾波器階數(shù)

設濾波器綜合的通帶頻率為 ，其衰減為 dB，截止頻率為 ，其衰減為 dB.示意圖如下：

所要求的通帶到阻帶的衰減是 ，可以通過計算得到衰減和階數(shù)關(guān)系為：

非匹配型Butterworth濾波器綜合

上述公式是匹配型濾波器設計公式，當輸入 輸出 阻抗不匹配時，其傳輸函數(shù)： 其中，由最初的定義，當 時和匹配型濾波器一樣：

令: 這里實際上只需要討論一種情況即可，如 ，則對于 的情況只需要簡單的將電路器件反序過來即可。

系數(shù) 和衰減 的關(guān)系為： 具體歸一化的LPF濾波器器件值為：

詳細推導過程可以參閱 。

設計實例

這里以3階Butterworth低通濾波器為例說明，設 ，得到:

所以得到： 由于這里的參數(shù)均是相對于T型網(wǎng)絡 計算的，所以最終的電路參數(shù)為： 電路如下：

不同濾波器通帶類型之間的轉(zhuǎn)換

只要有了低通(LP)濾波器原型，那么高通(HP)、帶通(BP)、帶阻(BR)濾波器參數(shù)可以非常容易的求得。

• 低通濾波器到高通濾波器

我們只需要將 ，都知道電容的容抗為 ，電感的感抗為 ，所以將其中的 替換為 得到：

這樣即可將低通轉(zhuǎn)換為高通，由于 和 之間是倒數(shù)的關(guān)系，當 時那么 ，當 時那么 ，當 時那么 ，這也就是說低通的阻帶是高通的通帶，低通的通帶是高通的阻帶，低通的截止頻率和高通的截止頻率相等。

• 低通濾波器到帶通濾波器

我們只需要將 ，這里可以將帶通濾波器理解為高通濾波器+低通濾波器組成(兩個濾波器串聯(lián))，從轉(zhuǎn)換公式可以看到 代表低通, 代表高通，兩者疊加變?yōu)閹?，我們用上面的辦法分別對低通的電感和電容做 替換：

這樣即可將低通轉(zhuǎn)換為帶通，由于 函數(shù)是一個對鉤函數(shù)，即兩頭高，中間低，當 時那么 ，當 時那么 ，當 時那么 ，這里是以實頻率來說的，實際上電容電感阻抗是有虛部的，為簡單直觀起見這里并未考慮。

• 低通濾波器到帶阻濾波器

帶阻可以理解為帶通的倒數(shù)，我們只需要將 ，這里可以將帶通濾波器理解為高通濾波器//低通濾波器組成(兩個濾波器并聯(lián))，從轉(zhuǎn)換公式可以看到 代表低通, 代表高通，兩者疊加變?yōu)閹ё?，我們用前面的辦法分別對低通的電感和電容做 替換：

這樣即可將低通轉(zhuǎn)換為帶阻，分析方法和前面類似，讀者可以自行分析。

濾波器的零極點分析

Butterworth低通濾波器的極點在一個圓上，可以通過 的公式(這里僅僅討論匹配型Butterworth)可以推導: 令公式的分母等于0，得到極點位置公式為： 根據(jù)歐拉公式 并且做個拓展 后可以得到: 可見 上的點落在一個圓上，我們?nèi)推矫娴淖筮厴O點即可得到 的通項公式。

另外濾波器頻率響應曲線和零極點息息相關(guān)，所以在濾波器電路分析中我們可以通過零極點來判斷濾波器狀態(tài)。典型的應用是濾波器電路參數(shù)和零極點的靈敏度的關(guān)系，從而可以找出敏感器件。

不同通帶類型濾波器零極點圖如下：

高通和低通的極點相同，零點位置不同而已；帶通和帶阻的極點相同，零點位置不同。

PS:上述零極點分析可以在文末的GitHub倉庫中濾波器設計軟件自動生成。

Butterworth濾波器設計軟件

基于Matlab的appdesign工具開發(fā)了一套Butterworth濾波器設計軟件，主要特點是：

• 支持4種不同濾波器通帶類型(LPF,HPF,BPF,BRF)設計
• T型和PI型結(jié)構(gòu)濾波器隨意切換
• 可以設置阻帶衰減決定濾波器階數(shù)
• 可以設置通帶衰減來綜合濾波器
• 可以隨意配置負載和終端阻抗，并支持一端接載(源端電阻短路，源端電流源，終端開路，終端短路)設計
• 可以幅頻響應分析、零極點分析、瞬態(tài)分析

LPF設計舉例

設計一款-3dB截止頻率為1GHz，7階低通Butterworth濾波器，輸入輸出阻抗為50歐姆，設計過程如下：

最終設計參數(shù)如下：

PZ分析結(jié)果如下：

BPF設計舉例

設計7階帶通Butterworth濾波器，輸入阻抗為50歐姆，輸出開路，并進行瞬態(tài)仿真，設計過程如下：

最終設計參數(shù)如下：

瞬態(tài)仿真結(jié)果：

上述設計的帶通濾波器只有一種綜合結(jié)果，其中Tee和PI選擇并沒有任何作用。

程序的Matalb源碼已經(jīng)上傳GitHub中 (https://github.com/etools361/MatlabFilterDesignApp)，有興趣的同學可以下載試用體驗，當然也歡迎技術(shù)交流。