關(guān)于周期信號的分?jǐn)?shù)次諧波的問題解析

探討了關(guān)于電機(jī)PWM的諧波對于電磁傳感器的干擾問題。由于PWM的高次諧波會(huì)落在20kHz的傳感器的通帶內(nèi)，所以需要避免PWM的頻率為20kHz的整數(shù)分?jǐn)?shù)值。

看到同學(xué)的一個(gè)留言，提到了關(guān)于周期信號的分?jǐn)?shù)次諧波的問題。

從這個(gè)留言中，似乎認(rèn)為對于一個(gè)周期方波信號，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與占空比成比例的分?jǐn)?shù)諧波。這個(gè)觀點(diǎn)在信號分析中應(yīng)該是不正確的。

一般情況下，習(xí)慣于教授理論的老師就可以直接寫出對應(yīng)的公式來進(jìn)行分析和說明了，或者將公式繪制成曲線說明信號頻譜的分布?？紤]到很多同學(xué)現(xiàn)在尚未學(xué)習(xí)信號與系統(tǒng)相關(guān)的內(nèi)容，為了提高大家對于這個(gè)問題的興趣，下面直接利用昨天實(shí)驗(yàn)環(huán)境，分別測試一下不同的PWM的占空比所產(chǎn)生的干擾頻率點(diǎn)的變化。

圖1 測量實(shí)驗(yàn)環(huán)境

昨天的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，在20kHz的整數(shù)分?jǐn)?shù)（1/2,1/3,1/4,1/5,1/6…）頻率處，PWM電機(jī)信號都會(huì)對傳感器噪聲干擾。這是由于這些頻率的某些整數(shù)倍數(shù)的諧波會(huì)恰好落在20kHz通帶范圍，當(dāng)時(shí)的PWM波形的占空比為10%.

下面分別取占空比為20%，25%，33%，50%重新測量PWM的頻率與干擾信號強(qiáng)度之間的關(guān)系?？梢员ＷC，下面的所有曲線都是自動(dòng)采集的實(shí)際信號繪制的，絕沒有通過公式計(jì)算出來的，所以它們反映了真是物理世界中信號的可以測量到的頻譜分布。

通過觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，不同的占空比下的PWM信號，并沒有產(chǎn)生新的干擾頻率點(diǎn)。相反，原來的一些干擾頻率點(diǎn)反而消失了。具體的規(guī)律看大家是否能夠通過測量總結(jié)出來？

圖2 占空比為20%時(shí)，PWM信號對傳感器的干擾頻率點(diǎn)

圖3 占空比為25%時(shí)，PWM信號對傳感器的干擾頻率點(diǎn)

圖4 占空比為33%時(shí)，PWM信號對傳感器的干擾頻率點(diǎn)

圖5 占空比為50%時(shí)，PWM信號對傳感器的干擾頻率點(diǎn)

通過上面的測量的數(shù)據(jù)可以看出，改變PWM波形的占空比并不會(huì)帶來新的干擾頻率點(diǎn)。相反，原來存在著的頻率點(diǎn)會(huì)在不同的占空比下消失了。例如，使用1/n的占空比，那么在所有的1/n,1/(2n),1/(3n)等處的干擾頻率點(diǎn)都消失了。特別對于占空比為50%（1/2）時(shí)，所有的1/2n的干擾頻率點(diǎn)都不存在了。

為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢。此處省去3000字的理論推導(dǎo)，直接拿出頻譜分析公式就可以說明了。對于一個(gè)周期為T，高電平為tao的方波脈沖信號，它的各次諧波的幅度如下圖中的公式給出。

圖6 方波脈沖信號頻譜分解公式及其幅度譜

可以看出，各次諧波的幅值是由sinc函數(shù)決定的。當(dāng)T是tao的整數(shù)倍數(shù)的時(shí)候，那么位于這些倍數(shù)處的諧波幅值都恰好為0。特別是，當(dāng)tao等于T一半的時(shí)候，所有n等于偶數(shù)時(shí)，對應(yīng)的諧波幅值都為0。

根據(jù)上面的結(jié)論，反過來，當(dāng)PWM的占空比為整數(shù)n分之一的時(shí)候，對應(yīng)的20kHz在 1/n, 1/2n, 1/3n等處的PWM信號，它們所對應(yīng)在20kHz的諧波恰好為零，所以這些頻率處的干擾點(diǎn)就消失了。

離開圖6中的頻譜分解公式，也可以利用信號對稱性的關(guān)系說明占空比為50%的方波信號中，不存在偶次諧波分量。

信號分解成多個(gè)分量的疊加，信號的某種對稱性會(huì)在分量中加以保持。比如，信號如果是偶對稱（或者奇對稱），那么它的所有分量也必須是偶函數(shù)（或者奇函數(shù)）。對稱性有很多種，有一種對稱性稱之為“奇諧對稱”。它是指信號的平移半個(gè)周期之后，正好與原來信號相反。

圖7 奇諧對稱信號

對于正弦信號分析，可以看出上述的奇諧對稱關(guān)系在正弦波1,3,5…等奇數(shù)個(gè)周期上也存在。同理，對于余弦波形也是如此。

圖8 奇次正弦波的奇諧對稱

那么，以此就可以得到如下的結(jié)論：對于一個(gè)奇諧對稱的周期信號，它的所有奇次諧波也滿足奇諧對稱，所以存在。相反，偶次諧波不滿足上述的奇諧對稱關(guān)系，因此就不存在。這也是“奇諧”周期信號的名稱的由來。

對于普通的占空比為50%的方波信號，它的交流分量也是一個(gè)奇諧信號。除此之外，你們還能夠舉出那些常見到的信號是“奇諧信號”嗎？

對于一個(gè)周期信號，它的諧波難道就只能是它的基波頻率的整數(shù)倍數(shù)嗎？

在數(shù)學(xué)上是的確如此。無論這個(gè)周期信號長成什么樣，它的各個(gè)分量就只能是基波頻率的整數(shù)倍數(shù)的離散頻譜，絕對不會(huì)產(chǎn)生基波頻率的分?jǐn)?shù)諧波的。

在實(shí)際世界中，嚴(yán)格周期信號是不存在的，特別是對于只存在一定時(shí)間的震蕩信號，實(shí)際上已經(jīng)不是嚴(yán)格意義上的周期信號了。比如，對于一個(gè)周期信號截取其中一段時(shí)間的信號，此時(shí)，它的頻譜就會(huì)產(chǎn)生很多新的分量。實(shí)際上，此時(shí)信號的頻譜就會(huì)形成一個(gè)連續(xù)的頻譜密度函數(shù)。再往下，就會(huì)從傅里葉級數(shù)分解推導(dǎo)出傅里葉變換的數(shù)學(xué)分析工具了。

除了對于信號截取會(huì)產(chǎn)生新的頻率之外，如果周期信號經(jīng)過一個(gè)非線性系統(tǒng)，

往往也會(huì)產(chǎn)生新的頻率，甚至是分?jǐn)?shù)頻率。在鋼琴樂器中，由于其中存在著大量的諧振單元，相互之間有著相互的耦合以及一些非線性的作用，因此，對于鋼琴的發(fā)出的單個(gè)樂音中，不僅包含著豐富的諧波分量，同時(shí)還存在著一一些非整數(shù)諧波（分?jǐn)?shù)諧波），這就使得鋼琴的聲音變得非常豐富多彩。

同樣，如果周期信號經(jīng)過一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)，也會(huì)有新的頻率信號產(chǎn)生。激光干涉引力波天文臺(tái)（LIGO）中的激光干涉信號，在平時(shí)，除了它本身激光穩(wěn)定的頻率之外，是不會(huì)有新的頻率信號的。但是當(dāng)引力波掃過地球時(shí)，整個(gè)空間的所有參數(shù)都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生相應(yīng)的變化，此時(shí)激光的頻率也同樣出現(xiàn)了漂移，從而使得系統(tǒng)輸出發(fā)生變化了的干涉信號，表明了當(dāng)前時(shí)空由于引力波所產(chǎn)生的變化。

圖10 時(shí)變的時(shí)空也會(huì)引起新的頻率分量的產(chǎn)生
編輯：hfy