關(guān)于正態(tài)分布和貝塔分布的案例介紹

本文通過案例介紹了正態(tài)分布和貝塔分布的概念。

正態(tài)分布

正態(tài)分布，是一種非常常見的連續(xù)概率分布，其也叫做常態(tài)分布（normal distribution），或者根據(jù)其前期的研究貢獻者之一高斯的名字來稱呼，高斯分布（Gaussian distribution）。正態(tài)分布是自然科學與行為科學中的定量現(xiàn)象的一個方便模型。

各種各樣的心理學測試結(jié)果和物理現(xiàn)象的觀測值，比如光子計數(shù)等都被發(fā)現(xiàn)近似地服從正態(tài)分布。甚至生活中很多現(xiàn)象的表征結(jié)果也符合正態(tài)分布的分布規(guī)律。盡管這些現(xiàn)象的根本原因經(jīng)常是未知的，甚至被采樣的樣本的原始群體分布并不服從正態(tài)分布，但這個變量的采樣分布均值仍會近似服從正態(tài)分布。

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)呈左右對稱的鐘形，其具體表達式為：

因為正態(tài)分布是如此的常見而這個式子是如此的奇怪，我們打算重溫高斯當年的推導過程，但部分細節(jié)不會那么嚴謹?shù)淖C明，只是帶領(lǐng)大家看看高斯當年的思路是如何的。

首先，高斯事先假定了如下條件，才得到了正態(tài)分布的連續(xù)密度函數(shù)。

即： 誤差分布導出的極大似然估計 = 算術(shù)平均值

這里我們把全部過程用直白的語言復(fù)述一遍。

貝塔分布

貝塔分布，beta分布，簡單來說，就是一個事件出現(xiàn)的概率的概率密度分布。

舉個例子，籃球比賽的三分命中率是衡量籃球后衛(wèi)運動員很重要的一個指標。通過過去的歷史經(jīng)驗，我們知道運動員的三分命中率很難超過40%。假如老張是一個優(yōu)秀老練的籃球后衛(wèi)，其過去歷史的三分命中率是35%，總投數(shù)為10000次，命中次為3500次。請問他在新賽季剛開始的時候，得到了一次三分投球機會，請問他這次投中的概率服從什么分布呢？

我們必須清楚，這個概率一定不是確定的，而是服從某種分布。這個概率密度分布函數(shù)應(yīng)該在0.35處最大，沿兩邊逐漸遞減。

這個概率就服從beta分布。確切的說，是服從

還有個運動員小張，而小張很年輕也很優(yōu)秀，他的歷史三分命中率也是35%，但是總投數(shù)為1000次，命中次數(shù)為350次。請問他在新賽季首投三分，命中概率的分布和老張一樣嗎？

明顯不一樣！雖然他們的歷史投球命中率都是35%，但是我們直覺認為老張比小張更靠譜，老張首投命中的概率密度分布應(yīng)該在0.35附近高于小張的。事實上，我們可以迅速借助python的scipy庫中內(nèi)置的beta統(tǒng)計方法。

我們來看一下圖像。

的確如此。那么beta分布的具體表達式是什么呢？

關(guān)于伽馬函數(shù)和貝塔函數(shù)，這里我們不做贅述。

需要指出的是，看起來beta分布的概率密度函數(shù)和高斯分布的曲線很像，實則不然。

再舉個例子，假如老張的孫子也想做做運動員，老張煞有介事的統(tǒng)計了小小張的歷史三分投數(shù)，為5投1中。問他下一次投球，也就是第六次投球，命中的概率的分布是怎樣的？如果過去是5投2中，5投3中，和5投4中呢？

可以看到，beta分布的PDF和高斯分布的曲線形狀差別可大了。
編輯：hfy