通過傅里葉函數(shù)方法分析電源模塊輸出端紋波

電子產(chǎn)品設計日益輕薄，使得電源模塊亦須提升切換頻率以縮小體積。藉由傅里葉級數(shù)頻域分析，研發(fā)人員將可掌握切換式降壓轉(zhuǎn)換器電源模塊輸出端漣波變化量，從而搭配最適合的電感和電容，使電路板尺寸與能源效率達到最佳設計。

電子3C產(chǎn)品功能愈來愈豐富且IC制程的進化趨向于低壓大電流，使得芯片對電源的漣波及噪聲（Ripple Noise）要求更為嚴謹。數(shù)字產(chǎn)品強調(diào)輕薄，相對地，電源模塊為符合此要求勢必提升切換頻率以縮小外部零件體積。高頻漣波與噪聲對數(shù)字電路信號的影響勢必嚴重，尤其是影音（Video/Audio）信號及差動對數(shù)據(jù)傳輸信號（Differential Pair Signal）。

基于此因素，本文將以傅里葉函數(shù)（Fourier Series Expansion）方式來探討同步交換式降壓轉(zhuǎn)換器（Synchronous Step Down Converter）輸出電壓紋波的波形，并依電容完整等效串聯(lián)電阻（ESR）、等效串聯(lián)電感（ESL）、電容值（Capacitance）對應的公式，經(jīng)由理論推導，有效地分析電源模塊輸出端紋波成分。

同步降壓交換式轉(zhuǎn)換器電路分析

同步降壓交換式電源轉(zhuǎn)換器的應用電路如圖1所示，系統(tǒng)工作原理是藉由交錯式切換High Side （Q1）/Low Side （Q2）金屬氧化物場效晶體管（MOSFET）（上、下橋晶體管），將輸入能量轉(zhuǎn)換成輸出端適當電壓以提供到負載側(cè)。系統(tǒng)關(guān)鍵性被動組件電感及輸出電容組成的低通濾波器（Low Pass Filter），用于傳送與儲存能量并濾除交流成分，讓輸出電壓成為平順的準直流需求。

圖1同步降壓轉(zhuǎn)換器應用電路

在常規(guī)技術(shù)的認知下，當切換頻率愈快，即可得到較小的輸出紋波，若以流經(jīng)電感電流乘上輸出電容的等效串聯(lián)電阻來估算峰值紋波電壓是可得到近似數(shù)據(jù)，但與實際的輸出紋波波形有程度上的誤差，因此必須考慮電容完整的等效電路特性，便可獲得正確的解答。

在切換式降壓轉(zhuǎn)換器中，電感電流會對電容充電或放電，因此所有的紋波電流都會流經(jīng)電容使得輸出到負載的電壓為穩(wěn)定的直流電壓Vo。然而，實際情形不是如 此，因為實際電容除了本身電容值外，還包含等效串聯(lián)電阻與等效串聯(lián)電感參數(shù)特性，讓輸出紋波電壓（Ripple Voltage）ΔVo大于默認值，因此欲得到正確的輸出紋波，則須將如圖1所示完整的電容等效電路加以說明。

其中，Cap全稱為Capacitance，意思是電容值，其為電容最主要的參數(shù)，應用于電路穩(wěn)壓，補償或濾噪聲之用，可用電容公式來表示其特性，亦即Q = C·Vc或

。

而ESR（Equivalent Series Resistance）為等效串聯(lián)電阻，其為電容能量損耗及紋波的來源，可用歐姆定律來表示其特性，亦即

。

至于ESL（Equivalent Series Inductance），表示等效串聯(lián)電感，可用電感微分公式來表示其特性，公式為

。其感抗正比于頻率，在低頻時其感抗低，不易觀測到其作用，但在頻率較高時，其感抗增加，會降低電容穩(wěn)壓濾波的功能。另外要補充的是，I為IL A.C成分，也就是電感電流的交流成分。

一般而言，在穩(wěn)態(tài)（Steady State）及負載固定時，輸出電容的紋波電壓主要是由電感的紋波電流造成，可先計算出電感的紋波電流，再利用歐姆定律，電感微分公式及電容電荷儲存公式，分別計算出ESR、ESL及Capacitance的紋波電壓。再將此三種紋波加總起來，便可得輸出電容的紋波電壓，如公式1所示：

。..。..公式1

電感電流函數(shù)IL（t）可由公式2求得，其波形如圖2所示。在Ton時（上橋MOSFET導通），輸入電源VCC供應能量到負載端且電感組件儲存磁能（電感電流為線性遞增），依據(jù)法拉第定律（Faraday‘s Law）：

，將可得到導通周期（On-time Duty）電感電流斜率：

圖2（A）LX的波形；（B）電感電流的波形；（C）輸出紋波波形

。..。..公式2

在Toff時（下橋MOSFET導通），電感釋放能量到負載（電感電流為線性遞減）；其關(guān)斷周期（Off-time Duty）電感電流斜率如公式3所示：

。..。..公式3

應用傅里葉函數(shù)頻域分析輸出紋波波形

依傅里葉級數(shù)展開任意周期性函數(shù)可得到頻率信號的幅度，也代表著信號在不同頻率分量成分的大小。頻域分析是以輸入信號的頻率為變量，并能夠提供比時域 （Time Domain）信號波形更直觀且包含頻率、振幅和相位信息。相對的傅里葉變換（Fourier Transform）可將頻域函數(shù)轉(zhuǎn)換成時域的穩(wěn)態(tài)輸出紋波Vo。因此，傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的優(yōu)點是可讓分析者依所提供的任意輸入波形，容易得到輸出紋波波形。

周期T傅里葉級數(shù)為：

傅里葉系數(shù)則是：

ak及bk是共軛復數(shù)。

等效電感阻抗包含ZESR、ZESL、ZCo，計算方式如下所示：

而LX電壓波形使用傅里葉級數(shù)展開，表示如下：

因此，ESR Ripple傅里葉級數(shù)展開如下所示：

ESL Ripple傅里葉級數(shù)展開如下所示：

Cap Ripple傅里葉級數(shù)展開如下所示：

Vo Ripple傅里葉級數(shù)展開如下所示：

應用傅里葉變換數(shù)值分析輸出電壓紋波

在處理信號時，常藉由傅里葉變換來取得信號所對應的頻譜，然后再由頻譜來讀取信號的參數(shù)。但由于所做的計算量過于龐大，當處理大量的數(shù)據(jù)時，則需要快速計 算的算法，因而衍生出快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform， FFT）?？焖俑道锶~變換大幅提高了頻譜的計算速度。

快速傅里葉變換的使用條件包括：信號必須是周期性的、取樣周期必須為信號周期的整數(shù)倍、采樣率（Sampling Rate）必須高于信號最高頻率的兩倍以上、取樣點數(shù)N必須為2k個數(shù)據(jù)。

快速傅里葉變換原理的表示法，則如下所示：

舉例來說，當切換頻率（fsw）為1050kHz的降壓電路，輸入電壓為Vin=3.3伏特（V），Vo=1.8伏特，L=2.7微亨 （μH），Co=10微法（μF），ESR=4毫奧姆（mΩ），ESL=1.1奈亨（nH），fsw=280kHz。其實際量測的輸出電壓紋波、LX及電感紋波電流如圖3所示。若給予任意輸入波形，由傅里葉級數(shù)分析方法可得到對應的輸出紋波，利用此方法提供一個快速有效的方式，可分析計算輸入任意周期波的輸出紋波。

圖3 快速傅里葉變換模擬波形與實際量測波形

應用時域分析輸出紋波波形

時域分析是以時間函數(shù)（Time Function）表示信號之特性，依據(jù)時間及振幅所組成之坐標平面來呈現(xiàn)出任何信號波形隨時間變化的瞬間物理量。時域分析輸出電壓紋波說明如下：

選擇適當電感/電容值讓設計優(yōu)化

本文提供了傅里葉級數(shù)頻域分析，其特色就是無須求解復雜的微分公式并與時域分析相對應，充分驗證理論推導及實際量測波形的對比。目的是想以較嚴謹?shù)妮敵鲭娙莸刃щ娐穪矸治鼋粨Q式降壓轉(zhuǎn)換器輸出紋波電壓。

經(jīng)由上述論證可得知，電容的等效串聯(lián)電阻、等效串聯(lián)電感及電容值等特性均會影響輸出紋波振幅及相位，并利用基本的奧姆定律、電感的微分公式推導電感與電流紋波變化，及電容器依據(jù)操作頻率充/放電荷以維持輸出電位穩(wěn)定。

將上述三種影響紋波因素波形（等效串聯(lián)電阻、等效串聯(lián)電感及電容值）線性迭加，便可得到完整的輸出紋波波形。透過此方法，可使研發(fā)工程師在設計切換式降壓轉(zhuǎn)換器電源時，根據(jù)電源需求及紋波允許變化量規(guī)格來選擇適當?shù)碾姼泻碗娙葜?，使其設計達到優(yōu)化。

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