解析過沖與相位裕量

負(fù)反饋因其可以穩(wěn)定增益、減小失真、擴展帶寬、變換阻抗等功能而在電子、控制等諸多領(lǐng)域發(fā)揮著重大作用。小至一顆電源芯片，大至一輛汽車，都在負(fù)反饋技術(shù)的幫助下使我們的生活變得更豐富。然而，負(fù)反饋的使用也是有代價的，即可能會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

為了了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況，最直接、精確的方式就是測量系統(tǒng)的相位裕量（Phase Margin/ PM），我們通常會使用環(huán)路分析儀進(jìn)行測試。

小編今天向大家介紹另一種方法，即通過測量過沖情況（OS）得到系統(tǒng)的相位裕量。

電路的二階系統(tǒng)化

一些常見的反饋電路，通常都是二階系統(tǒng)，我們以運放容性帶載為例來討論：

*運放的容性負(fù)載 *典型通用運放的開環(huán)增益曲線

一個典型通用運放的開環(huán)增益曲線如上圖所示。它一般擁有一個低頻的主極點，如100Hz，高頻極點通常會被設(shè)計為遠(yuǎn)高于穿越頻率，所以常規(guī)的運放電路是穩(wěn)定的。

當(dāng)運放存在容性負(fù)載的時候，開環(huán)輸出電抗（Zo）與輸出電容（Co）形成的極點會處在反饋環(huán)路內(nèi)，當(dāng)極點頻率靠近或小于穿越頻率，則會使得系統(tǒng)的相位裕度明顯降低，導(dǎo)致不穩(wěn)定的情況發(fā)生。

所以，一個運放帶容性負(fù)載的放大電路，其傳遞函數(shù)可以表示為：

其中，K為運放的DC開環(huán)增益，β是反饋系數(shù)（作為跟隨器時，β=1，100倍放大時，β=0.01）。

1/τa是運放的低頻主極點的角頻率，1/τb是Zo和Co產(chǎn)生寄生極點的角頻率?？梢?，τa》》 τb。

上式可被轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)

由于K為運放的DC開環(huán)增益，所以Kβ》》1

其中，ωn為電路的自然頻率，ξ為阻尼系數(shù)，且

時域過沖與阻尼系數(shù)的關(guān)系

我們知道，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，即0《ξ《1，才會存在過沖的情況。

對一個標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)來說，

可以求得其單位階躍響應(yīng)函數(shù)為：

求得階躍響應(yīng)第一個峰值對應(yīng)的時間為：

所以過沖為

因此我們可以繪制如下過沖與阻尼系數(shù)的曲線

*過沖與阻尼系數(shù)的關(guān)系

過沖可以經(jīng)由在輸入端給予一個小的階躍信號，并測量輸出端得到。如下圖是在ξ=0.35的系統(tǒng)中在1ms時使用100mV階躍輸入所測得的過沖情況，過沖為31%。

相位裕量與阻尼系數(shù)的關(guān)系

我們接下去分析阻尼系數(shù)與相位裕量（Phase Margin）的關(guān)系

系統(tǒng)的環(huán)路增益為：

為了求得系統(tǒng)穿越頻率ωc ，可令|A（s）β|=1

求得

所以相位裕度

具此我們可以繪制如下相位裕量與阻尼系數(shù)的曲線

*相位裕量與阻尼系數(shù)的關(guān)系

相位裕量與過沖的關(guān)系

由此，我們借由阻尼系數(shù)，得到相位裕量與過沖的關(guān)系，繪制曲線如下

*相位裕量與過沖的關(guān)系

由上圖可知，當(dāng)相位裕量大于70?以上時已經(jīng)幾乎沒有過沖

相位裕量60? 時， OS（60?）≈8.8%

相位裕量45? 時， OS（45?） ≈23.4%

我們的討論是基于二階系統(tǒng)的，所以如果實際的電路并非二階系統(tǒng)，那么相位裕量與過沖的關(guān)系將并不嚴(yán)格遵循上述推論。但幸運的是，現(xiàn)實中的大部分電路都近似于二階系統(tǒng)，所以通過觀察過沖情況（OS）來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，對于有時候的系統(tǒng)調(diào)試（特別是，對于差分放大器或者SOC等并沒有提供反饋引腳而無法采用環(huán)路分析儀的場合），或者定性分析，都是大有裨益的。

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編輯：jq