如何在軟件中實現(xiàn)高精度NCO

在本系列的第 1 部分中，我們將了解如何基于直接數(shù)字頻率合成 （DDFS） 原理設(shè)計一個非常精確的正弦波發(fā)生器，但在浮點 DSP 處理器上通過軟件實現(xiàn)。在第 2 部分中，我們將介紹如何在軟件中實現(xiàn)高精度 NCO。

構(gòu)建一個具有與最好的模擬振蕩器相似或更好的失真性能的高精度交流音發(fā)生器，如最著名的惠普分析儀或應(yīng)用筆記 AN-1323 中所述，即使專用于音頻，也不是一件容易的事頻譜（直流至 20 kHz 范圍）。然而，如前所述，完整的軟件實現(xiàn)，使用嵌入式處理器的足夠算術(shù)精度執(zhí)行相位計算 （ωt） 和正弦函數(shù) （sin（ωt）） 近似，當(dāng)然可以幫助最大限度地減少量化副作用、噪聲、以及由此產(chǎn)生的馬刺。這意味著圖 2 中的所有 NCO 功能塊都轉(zhuǎn)換為代碼行（沒有 VHDL！

對于相位到正弦幅度轉(zhuǎn)換引擎，完整的 LUT 方案或任何變化都需要過多的內(nèi)存或過多的插值操作才能實現(xiàn)完美的正弦一致性。相反，用于正弦逼近的多項式方法通過允許使用成本非常低的通用 DSP，提供了非常好的復(fù)雜性與精度之間的折衷。多項式級數(shù)展開也非常有吸引力，因為它相對簡單，并且能夠在選擇冪級數(shù)類型時提供充分的靈活性，并為給定的精度定制算法。它不需要大的存儲空間、少于 100 行 SHARC DSP 裝配線，并且只需要幾個 RAM 位置來存儲多項式系數(shù)和變量，因為正弦值僅在采樣時刻計算。

首先，正弦逼近函數(shù)的明顯選擇是使用具有適當(dāng)階數(shù)的直線 Taylor/MacLaurin 冪級數(shù)來滿足目標(biāo)精度。然而，由于冪級數(shù)往往在端點處失效，因此在執(zhí)行任何多項式評估之前，必須將參數(shù)輸入范圍縮小到更小的區(qū)間。在沒有參數(shù)范圍縮減的情況下，只有非常高階的多項式才能支持函數(shù)域上的高精度，例如 ［–π， +π］。因此，需要對初等函數(shù)應(yīng)用一些變換以得到簡化參數(shù)，例如 sin（|x|） = sin（f + k × π/2） 和 sin（f） = sin（x – k × π/ 2） 0≤f《π/2。因此，應(yīng)特別注意三角函數(shù)以避免減法抵消，這將導(dǎo)致嚴(yán)重的精度損失并產(chǎn)生災(zāi)難性的結(jié)果，尤其是在算術(shù)精度較差的情況下。在我們的例子中，當(dāng)相位輸入較大或接近 π/2 的整數(shù)倍時，可能會發(fā)生這種情況。

除了周期性和模 2π 重復(fù)之外，sin（x） 函數(shù)的對稱特性還可用于進一步減小逼近范圍。鑒于正弦函數(shù)在區(qū)間 ［0， 2π］ 中關(guān)于點 x = π 反對稱，因此可以使用以下關(guān)系：

將范圍縮小到 ［0， π］。以同樣的方式，sin（x） 顯示了關(guān)于區(qū)間 ［0， π］ 中由 x = π/2 定義的線的對稱性，使得：

對于區(qū)間 ［0， π/2］ 中的 x，這進一步減小了角度輸入逼近范圍。進一步將參數(shù)減少到更小的區(qū)間（如 ［0， π/4］ 以提高準(zhǔn)確性）效率不高，因為它需要同時評估正弦和余弦函數(shù)，這由常見的三角關(guān)系決定：sin（a+b ） = sin（a） × cos（b） + cos（a） × sin（b），值得產(chǎn)生正交音。

ADI 公司的 ADSP-21000 系列應(yīng)用手冊第 1 卷描述了一種幾乎理想的（用于嵌入式系統(tǒng)）正弦逼近函數(shù)，該函數(shù)基于為第一個 ADI DSP 浮點處理器（即 ADSP-21020）編寫的優(yōu)化冪級數(shù)，它基本上是一個SHARC核心。sin（x） 的這種實現(xiàn)依賴于 Hart 等人 4 發(fā)表并由 Cody 和 Waite5 改進的極小極大多項式近似，用于浮點運算，以減少舍入誤差并避免如前所述的取消的發(fā)生。minimax 方法依賴于 Chebyshev 多項式和 Remez 交換算法來確定所需最大相對誤差的系數(shù)。如圖 3 中的 MATLAB 所示，

圖 3. 與定義在 0 附近的 Taylor-MacLaurin 方法不同，極小極大正弦近似方法在 ［–π/2 到 +π/2］ 區(qū)間內(nèi)最小化和均衡最大相對誤差。

雖然所有計算都可以使用 32 位定點算術(shù)執(zhí)行，但多年來，最常見和最方便的數(shù)學(xué)計算格式一直是 IEEE 754 浮點標(biāo)準(zhǔn)，尤其是在處理長數(shù)時。當(dāng)時根本沒有單片浮點DSP處理器，只有ADSP-3212和ADSP-3222等簡單的浮點乘法器和ALU計算IC。這種格式取代了計算機行業(yè)的大多數(shù)專有格式，并成為所有 SHARC DSP 處理器的原生格式，包括單精度 32 位、擴展精度 40 位以及最近用于 ADSP-SC589 的雙精度 64 位和 ADSP-SC573。

SHARC 40 位擴展單精度浮點格式及其 32 位尾數(shù)為該正弦波生成應(yīng)用提供了足夠的精度 （u 2–32） 并保持相等，Cody 和 Waite 表明 15 階多項式是合適的對于 32 位的整體精度，在 ［0 到 +π/2］ 輸入域上具有均勻分布的誤差。最小化運算次數(shù)并保持準(zhǔn)確性的最后調(diào)整是實現(xiàn)多項式計算的霍納規(guī)則，這是一種在一個點上計算多項式的快速取冪方法，例如：

R1 到 R7 是多項式級數(shù)的 Cody 和 Waite 系數(shù)，只需 8 次乘法和 7 次加法即可計算任何輸入?yún)?shù) ε［0， π/2］ 的正弦函數(shù)。以匯編子程序形式編寫的完整 sin（x） 近似代碼在 SHARC 處理器上大約需要 22 個內(nèi)核周期執(zhí)行。原始匯編子程序被修改為在獲取 40 位多項式浮點系數(shù)時同時執(zhí)行雙內(nèi)存訪問，以節(jié)省六個周期。

圖 4. 軟件 DDS 簡化框圖給出了數(shù)據(jù)算術(shù)格式和處理元件之間各種量化步驟的位置。

NCO 64 位相位累加器本身使用雙精度二進制補碼小數(shù)格式的 SHARC 32 位 ALU 來執(zhí)行。具有內(nèi)存更新的完整相位累加器執(zhí)行需要 11 個內(nèi)核周期，因此，每個 NCO 輸出樣本在大約 33 個內(nèi)核周期內(nèi)生成。

圖 4 中的圖表顯示了基于軟件 DSP 的 NCO 的功能塊實現(xiàn)，其中參考了每個階段的算術(shù)格式精度。此外，信號模擬重構(gòu)還需要一個或兩個 DAC 及其模擬抗混疊濾波器電路，以實現(xiàn)完整的 DDFS。處理鏈的關(guān)鍵要素是：

64位相位累加器（SHARC ALU雙精度加法溢出）；

64 位小數(shù)定點到 40 位 FP 轉(zhuǎn)換塊；

范圍縮減塊 ［0 到 + π/2］ 和象限選擇（Cody 和 Waite）；

用于相位幅度轉(zhuǎn)換的正弦逼近算法 （Hart）；

–1.0 到 +1.0 范圍內(nèi)的 sin（x） 重建和歸一化階段；

必要時進行 LP FIR 濾波器和 sin（x）/x 補償；

以及 40 位 FP 到 D 位定點轉(zhuǎn)換和縮放功能，以適應(yīng) DAC 數(shù)字輸入。

可以在 NCO 的輸出端放置一個可選的數(shù)字低通濾波器，以消除可能折疊在感興趣頻帶中的任何雜散和噪聲?？蛇x地，該濾波器可以根據(jù)為模擬重建選擇的 DAC 提供插值和/或逆 sin（x）/x 頻率響應(yīng)補償。這種低通 FIR 濾波器可以使用 MATLAB 濾波器設(shè)計器工具來設(shè)計。例如，假設(shè)采樣頻率為 48 kSPS，直流至 20 kHz 帶寬，帶內(nèi)紋波為 0.0001 dB，帶外衰減為 –150 dB，則可以使用 40 位浮點實現(xiàn)高質(zhì)量等紋波濾波器系數(shù)。只有 99 個濾波器系數(shù)，它的總執(zhí)行時間將在單指令、單數(shù)據(jù) （SISD） 單計算單元模式下消耗大約 120 個 SHARC 內(nèi)核周期。數(shù)字濾波后，DMA 使用其中一個 DSP 同步串行端口將計算的樣本對發(fā)送到 DAC。為了獲得更好的速度性能，鏈接 DMA 操作也可以與大型乒乓存儲器緩沖區(qū)一起支持按塊操作進行處理。例如，塊數(shù)據(jù)大小可以等于 FIR 數(shù)據(jù)延遲線的長度。

NCO 的最終調(diào)整以獲得最佳 SFDR

如前所述，NCO 受到雜散的影響主要是由于相位累加器輸出的截斷，并且在較小程度上，來自對通過計算或制表獲得的正弦值進行的幅度量化。相位截斷導(dǎo)致的誤差通過相位調(diào)制（鋸齒波）在載波頻率附近產(chǎn)生雜散，而正弦幅度量化導(dǎo)致諧波相關(guān)的雜散，盡管長期以來被認(rèn)為是隨機誤差和噪聲。今天，如 Henry T. Nicholas 和 H. Samueli 的技術(shù)論文 7 中所描述的，相位累加器的操作在數(shù)學(xué)上是眾所周知的。經(jīng)過全面分析，提出了一個模型，將相位累加器視為離散相位樣本置換發(fā)生器，從中可以預(yù)測頻率雜散。

（其中 GCD 是最大公約數(shù)）由頻率調(diào)諧字 M 的最右邊位位置 L 確定，如圖 4 所示。因此，L 的值定義了序列類別，每個類別共享自己的一組相位組件，但根據(jù)排列

比率。在時域中生成的這些截斷相位樣本序列用于通過 DFT 確定頻域中每個雜散線的相應(yīng)位置和幅度。這些序列還表明 M （FTW） 的奇數(shù)值表現(xiàn)出最低頻率雜散的幅度，并建議對相位累加器進行簡單修改，以滿足這些最小條件，只需將 1 LSB 添加到 FTW。這樣，無論 M 值和相位累加器的初始內(nèi)容如何，相位累加器輸出序列都被迫始終具有相同的 2N 個相位元素。然后，最差雜散音幅度的電平降低 3.922 dB，等于 SFDR_min （dBc） = 6.02 × W。 Nicholas 改進的相位累加器為 NCO 帶來了幾個好處，

圖 5. FTW 最右邊的非零位的位置設(shè)置了理論上的 SFDR 最壞情況水平。Nicholas 改進的相位累加器解決了任何 N 值的問題，并使 NCO 的 SFDR 最大化。

因此，對于 32 位的輸出相位字 W，由于相位截斷而導(dǎo)致的最大雜散幅度被限制為 –192 dBc！正弦樣本值的有限量化也會導(dǎo)致另一組頻率雜散，通常將其視為噪聲，并通過眾所周知的關(guān)系 SNRq（dB） = 6.02 × D + 1.76 進行估計。由于相位到正弦幅度轉(zhuǎn)換算法階段的近似誤差，這必須添加到寄生元素中，但是，考慮到在選擇相位到正弦近似算法和計算的精度。

這些結(jié)果表明，我們的軟件正弦 NCO 的線性度和噪聲都處于理論水平，遠遠超出了測試市場上大多數(shù)高精度 ADC 所需的閾值。仍然需要找到信號鏈中最后但也是最關(guān)鍵的元素：重建 DAC 及其互補模擬抗混疊濾波器和相關(guān)的驅(qū)動器電路，這些都可以滿足預(yù)期的性能水平。

審核編輯：郭婷