計(jì)算成像里的相位都有哪些？相位能帶來(lái)什么？

在計(jì)算光學(xué)領(lǐng)域，平生不把“相位”玩，便稱英雄也枉然！相位，是計(jì)算光學(xué)成像里繞不開的東西，號(hào)稱“凌波微步”的相位大法，是計(jì)算光學(xué)成像的十八般武藝之一。

今天，我們就來(lái)揭開相位的神秘面紗。

平靜的水面扔進(jìn)一顆石子，會(huì)蕩起一圈圈的漣漪；燃燒的火堆后面，能看到影影綽綽變形了的臉；一束激光照射到全息干板上，能看到栩栩如生的三維立體圖像；滴答走著的鐘表，地上被老大爺抽打著轉(zhuǎn)了一圈又一圈的陀螺……所有這些，都與 “相位”有關(guān)。

可是，說(shuō)起相位（Phase），大家似乎都感覺到熟悉又陌生。這個(gè)詞不僅在計(jì)算光學(xué)成像中隨處可見，而且在光學(xué)、數(shù)學(xué)和信號(hào)處理領(lǐng)域也司空見慣，但好像每次見到都感覺有些不同。我見過(guò)很多光學(xué)專業(yè)的學(xué)生會(huì)有一個(gè)思維定勢(shì)，認(rèn)為相位應(yīng)該是光波函數(shù)的相位，而當(dāng)他們閱讀一些文獻(xiàn)的時(shí)候，見到相位往往就莫衷一是的樣子，手足無(wú)措。

那么計(jì)算成像里的相位都有哪些？相位能帶來(lái)什么？我們還能對(duì)相位做點(diǎn)什么？如何在計(jì)算成像中引入相位和解譯相位？

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相位到底是什么？

我們生活在一個(gè)充滿各種各樣波的世界里，要理解相位，首先得了解什么是波。有些人可能覺得這個(gè)問(wèn)題有些奇怪，這還用問(wèn)嗎？劃船時(shí)的水波，廣播里的聲波，跳繩時(shí)的繩波。當(dāng)然，生活中的還存在著很多波動(dòng)現(xiàn)象。我們要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，就是我們?nèi)绾斡靡惶捉y(tǒng)一的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述波。

光是一種電磁波，它滿足波動(dòng)方程：

求解這個(gè)方程不是我們?cè)诖颂幮枰钊胩接懙膯?wèn)題，感興趣的讀者可以移步光學(xué)大師波恩老先生的著作《光學(xué)原理》。

我們先來(lái)看看相位的定義，以簡(jiǎn)諧波為例，若一個(gè)正弦函數(shù)y=A·sin(ωt+α)描述了角頻率為ω、振幅為A的一個(gè)振動(dòng)，其中ωt+α就是相位。

如果寫成y（x,t）=A·sin(ωt+α-kx)的形式，就描述了一個(gè)振幅為A、波長(zhǎng)為λ=2π/k的波。換句話說(shuō)，相位是描述“振蕩”的，存在于周期性現(xiàn)象的描述中，類似于振動(dòng)、交流電、波動(dòng)等等。 是不是很枯燥？那就來(lái)看個(gè)更枯燥的。在物理和應(yīng)用科學(xué)中，經(jīng)常用復(fù)函數(shù)Y(x,t)=C·ei(ωt-kx)，其中復(fù)振幅C=Aeiα·Y(x,t)的虛部對(duì)應(yīng)上面的那個(gè)y（x,t）。

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位與波的相位

之所以講這些枯燥的內(nèi)容，只是想把來(lái)龍去脈搞清楚。 這里需要總結(jié)一下：所有寫成復(fù)數(shù)形式的式子都有相位，而相位是與幅角相關(guān)的一個(gè)相對(duì)值。

你看，這不就簡(jiǎn)單了嗎？再?gòu)?qiáng)調(diào)一下：凡是復(fù)數(shù)形式的，必有相位；相位是一個(gè)相對(duì)值，一定要與初始位置一起用。

其實(shí)，還可以歸納一條：凡是能夠表示成周期性函數(shù)的，都有相位。 打個(gè)比方，排列整齊的隊(duì)伍在一聲“解散”口令后，立馬就成雜亂無(wú)序狀；一聲“歸位”令下，很快就又恢復(fù)了排列整齊的隊(duì)伍。

在這里，每個(gè)人都有自己的位置，這個(gè)位置就相當(dāng)于相位。

??隊(duì)列歸位 因此，你會(huì)看到五花八門的各種復(fù)數(shù)表達(dá)式，很顯然，這些復(fù)數(shù)表達(dá)式里都有相位，只是，你可能不知道這個(gè)相位到底表達(dá)什么意思。

那我們就來(lái)列舉一下計(jì)算光學(xué)成像中會(huì)遇到哪些相位。 第一是大家熟悉的光波函數(shù)，有幅值有相位。由于光的探測(cè)是強(qiáng)度信息，相位探測(cè)都是間接方法測(cè)量出來(lái)，比如干涉法。自然光的時(shí)間相干性和空間相干性都很差，可以認(rèn)為相位雜亂無(wú)章，變化無(wú)常，難以記錄。





光波與波函數(shù) 第二是全息，我們知道全息表示形式本身就是復(fù)數(shù)的，自然有相位；最重要的是，全息記錄的就是相位信息，只需用滿足布拉格條件的再現(xiàn)光照射全息圖就能重建出原始相位。

第三是偏振。偏振乍一看似乎找不到那個(gè)相位，但是深入分析一下就知道，偏振有偏振度和偏振角兩個(gè)量，其中偏振角就可以等效看作相位。

第四是結(jié)構(gòu)光成像。我們知道，當(dāng)平面波投射到物體表面時(shí)，遵循菲涅爾定律產(chǎn)生折射和反射，物體表面的起伏會(huì)產(chǎn)生相位的變化，將不再是平面波，記錄下此時(shí)的波前，便能夠恢復(fù)出物體的三維形貌。這是教科書的表述方式，實(shí)驗(yàn)卻沒那么容易。

我們希望在自然環(huán)境中也能夠記錄相位，實(shí)現(xiàn)三維成像。其實(shí)很簡(jiǎn)單，采用結(jié)構(gòu)光照明，典型的就是黑白相間的平行條紋，投射到物體表面，就能看到條紋的形變，這種形變恰恰是我們通過(guò)照明的方式引入的相位；記錄下條紋形變，就可以解析出相位，從而重建三維形貌。

第五是大氣和水等混沌介質(zhì)，這種我們可以稱為“計(jì)算介質(zhì)”的東東，在成像中往往起著很壞的作用，大氣擾動(dòng)會(huì)使天文望遠(yuǎn)鏡看不清目標(biāo)，于是就產(chǎn)生了自適應(yīng)光學(xué)；還會(huì)產(chǎn)生散射，我在上一篇里已有論述。 第六是傅里葉變換。傅里葉變換也是復(fù)數(shù)形式，有頻譜圖和相位圖；圖像傅里葉變換相位圖代表的是圖像的位置和結(jié)構(gòu)信息。

在計(jì)算光學(xué)成像中，我們經(jīng)常遇到的是在頻域里處理信息，就會(huì)與傅里葉相位打交道，散斑自相關(guān)成像就是典型的案例，其相位恢復(fù)就是恢復(fù)傅里葉變換相位。傅里葉望遠(yuǎn)鏡當(dāng)然關(guān)系更大了。

數(shù)學(xué)的傅里葉變換

還有一種是相關(guān)運(yùn)算引入的相位。其實(shí)可以把相關(guān)運(yùn)算看作與傅里葉變換是一樣的東西，只是一種拓展而已。

再進(jìn)一步看，其實(shí)還有很多與相位相關(guān)的，比如有像差的光學(xué)系統(tǒng)、多目相機(jī)、微透鏡陣列、多角度照明等，都有相位的引入。只是，這些相位有的是“壞”的，我們不想要的，比如像差，而有的是我們想要引入的“好”的相位，比如多角度照明。

上面說(shuō)了這么多，那相位到底能干什么？

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相位能干什么？

首先，相位屬于高維度的物理量，高維度的信息經(jīng)過(guò)好的處理，投影到低維度，一定會(huì)有好的結(jié)果，這當(dāng)然要看我們?cè)诘途S度空間到底想要什么。專欄的第一篇里已講到，光電成像朝著“更高、更遠(yuǎn)、更廣、更小、更強(qiáng)”的目標(biāo)發(fā)展，從應(yīng)用的維度上看，我們需要把偏振、光譜、相位等高維度的物理信息轉(zhuǎn)換為分辨率、作用距離、視場(chǎng)、重量體積和環(huán)境適應(yīng)能力等，當(dāng)然還有深度信息。

維度信息效能雷達(dá)圖

下面就討論一下“相位”在計(jì)算光學(xué)成像中的法力。 從相位本身的物理意義上來(lái)看，它是表征“相對(duì)位置”的一個(gè)物理量，那就天然地就決定了它具備與位置相關(guān)的能力，比如全息就是一個(gè)典型的例子。那么，相位在三維成像、提高成像分辨率、簡(jiǎn)化光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和提高環(huán)境適應(yīng)能力等方面能發(fā)揮什么作用。

三維成像方面的相位

全息成像真正拉開了三維成像的序幕，從全息干板到現(xiàn)在的數(shù)字全息，都離不開相位，只是干板記錄的是干涉條紋，通過(guò)光源照射還原相位信息，能看到真實(shí)的三維圖像，而且，即使干板打碎，每一個(gè)小塊都記錄了物體的全息圖，只是分辨率下降了；而數(shù)字全息則通過(guò)光電探測(cè)器記錄全息圖，借由標(biāo)量衍射理論從干涉強(qiáng)度圖里恢復(fù)出相位，從而達(dá)到全息的目的。

光電成像和顯示，一定要走向三維！而光電成像實(shí)現(xiàn)的二維圖像，沒有深度信息，就談不上三維。那如果能記錄下或者恢復(fù)出相位，可否像全息成像，重建出三維的圖像呢？答案是肯定的。 利用非相干光進(jìn)行三維的成像的例子有：雙目立體視覺、結(jié)構(gòu)光照明三維成像、偏振三維成像和散射成像等。

雙目立體視覺是利用視差和三角幾何關(guān)系實(shí)現(xiàn)的，只是深度計(jì)算模型按照理想相機(jī)建立的，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要對(duì)雙目相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，得到內(nèi)外參數(shù)和相應(yīng)矩陣。這個(gè)應(yīng)用與相位無(wú)關(guān)。

雙目立體視覺

結(jié)構(gòu)光照明三維成像是采用正弦條紋、格雷碼和隨機(jī)紋理等編碼圖案的主動(dòng)照明方式，引入相位信息，當(dāng)然，我們也可以采用時(shí)間編碼方式。

以正弦條紋為例，將正弦條紋通過(guò)投影設(shè)備投影至被測(cè)物后會(huì)發(fā)生彎曲形變，根據(jù)彎曲程度可以解調(diào)得到相位，再將相位轉(zhuǎn)化為全場(chǎng)的高度。這就是結(jié)構(gòu)光三維成像的基本原理，其他的編碼形式與此類似。

很顯然，這種方法與全息不同，只能對(duì)結(jié)構(gòu)光照到的形貌進(jìn)行三維重建，這意味著只能從一個(gè)方向觀測(cè)，它是三維的，但不具有“全息”特性。

基于格雷碼圖案投影的結(jié)構(gòu)光三維成像技術(shù)

偏振三維成像本質(zhì)上利用偏振角信息重建三維形貌，這個(gè)偏振角其實(shí)也是相位，在第四篇文章已有論述。 我們知道，散射光場(chǎng)具有“全息”特性，一方面，我們可以從散射場(chǎng)中解譯出相位信息，從而獲得景深數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)三維重建；另一方面，選取一小塊散斑也能解譯出物體信息，只是分辨率下降了，這與全息很像。其實(shí)，我們從另外一個(gè)角度看，散射可以認(rèn)為是一種特殊的結(jié)構(gòu)光編碼形式，既有幅值的調(diào)制，也有相位調(diào)制。這既是散射成像的魅力，也是挑戰(zhàn)，需要我們更好地去發(fā)掘。

提高成像分辨率的相位

1953年，荷蘭科學(xué)家澤尼克因發(fā)明了相襯（Phase Contrast）顯微鏡獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，這是第一個(gè)把相位變成強(qiáng)度的成像案例，其原理是利用光的干涉原理，將相位差轉(zhuǎn)換成振幅差(即明暗差)的顯微鏡裝置。相襯顯微鏡實(shí)際上是把人眼看不到的相位信息轉(zhuǎn)換為強(qiáng)度，可以解決透明物體的成像問(wèn)題。

相襯顯微鏡與成像結(jié)果

那么能不能利用相位提升分辨率呢？這幾年一直在流行“相位成像”，就是從強(qiáng)度中恢復(fù)相位信息，主要兩種手段：一種是相干光照明，根據(jù)光的衍射理論，光的相位能影響到強(qiáng)度信息，可以通過(guò)在光路中引入某些光學(xué)元件使得相位能夠反應(yīng)在圖像上，記錄下相襯；另外一種是通過(guò)已知的強(qiáng)度信息，利用傅里葉光學(xué)原理解譯出相位，稱之為定量相位成像（quantitative phase imaging）。

相位定量測(cè)量原理與細(xì)胞的定量相位成像

說(shuō)起分辨率，就必須要說(shuō)說(shuō)阿貝衍射極限，光學(xué)成像分辨率可以表示為δ=kλ/NA，其中k為系數(shù)，如0.61，λ為波長(zhǎng)，NA為數(shù)值孔徑。從公式上來(lái)看，提升分辨率的手段基本上就是減小波長(zhǎng)，提高數(shù)值孔徑。很顯然，對(duì)大多數(shù)成像而言，數(shù)值孔徑更重要。提高數(shù)值孔徑除了常規(guī)的增大光學(xué)口徑和油浸介質(zhì)等手段外，采取的方法都與相干有關(guān)，而相干必然離不開相位。

常見的結(jié)構(gòu)光照明成像、疊層成像、散射成像和合成孔徑成像，都離不開相位。關(guān)于這些內(nèi)容，我想在之后的文章里專門討論。 現(xiàn)在我們要思考的是能不能把相位這個(gè)高維度的量投影到分辨率這個(gè)維度，能否提升分辨率？可以?？匆粋€(gè)現(xiàn)實(shí)的例子：人的雙目視力是超過(guò)單只眼睛的，原因就是這里有視差，從而引入了相位，在大腦視覺合成時(shí)提升了分辨率。

這個(gè)是不是很有意思？在這里，我問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，這個(gè)相位是什么？如何引入的？還有哪些方法，能夠把相位與分辨率緊密結(jié)合起來(lái)？

簡(jiǎn)化光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的相位

光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的本質(zhì)是對(duì)相位的優(yōu)化控制，傳統(tǒng)的光學(xué)系統(tǒng)為了減小像差采用多片鏡片的組合優(yōu)化設(shè)計(jì)，帶來(lái)了好的像質(zhì)也犧牲了體積、重量和加工成本。

在計(jì)算光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，簡(jiǎn)化光學(xué)系統(tǒng)的核心必然是相位的混疊和解譯。說(shuō)起來(lái)很簡(jiǎn)單，在光學(xué)系統(tǒng)中減少了鏡片，增加了編碼過(guò)程，這都會(huì)引入相位的變化；如果把成像看成線性模型，那么解譯就是求共軛矩陣的過(guò)程，使之能夠恢復(fù)到傳統(tǒng)光學(xué)成像的效果；如果是非線性模型，那就應(yīng)該考慮減少鏡片和編碼過(guò)程引入的相位變化，可否做景深的延拓和分辨率的提升。

光學(xué)器件的相位 這就好玩了。你想啊，你用了廉價(jià)的方法，既減小了體積重量，還能三維成像，并且分辨率還能提升，是不是做夢(mèng)??？從理論上來(lái)講，這還真能做到，但是還有很多的問(wèn)題需要克服，比如能量減弱帶來(lái)的對(duì)比度下降、數(shù)字信號(hào)處理引入的噪聲和偽重建、光譜的混疊和相位的混疊等等復(fù)雜問(wèn)題，當(dāng)然還有相位信息不足的問(wèn)題。從本質(zhì)上來(lái)講，還是多維度物理光場(chǎng)的問(wèn)題。

提升環(huán)境適應(yīng)性的相位

大氣擾動(dòng)、霧霾、煙塵、水等介質(zhì)都會(huì)引起相位的變化，從而造成圖像畸變、看不清、看不遠(yuǎn)等問(wèn)題。自適應(yīng)光學(xué)實(shí)際上就是在解決相位的問(wèn)題。但是，自適應(yīng)光學(xué)也存在著自身的局限性，除了需要信標(biāo)光之外，一是用不起，二是也不一定都能解決問(wèn)題。這實(shí)際上又回歸到了光場(chǎng)的問(wèn)題，目前來(lái)看，散射成像應(yīng)該是解決環(huán)境適應(yīng)性最好的辦法了，說(shuō)到底還是一個(gè)相位恢復(fù)的問(wèn)題。

當(dāng)然，還可以異想天開一點(diǎn)，想辦法再引入一點(diǎn)其他的因素，也能夠更好地解決問(wèn)題。

應(yīng)對(duì)大氣擾動(dòng)的自適應(yīng)光學(xué)

我們還可以挖掘相位其他方面的潛力，比如能否在拓展視場(chǎng)方面發(fā)揮作用，解決“更廣”的問(wèn)題？我一本正經(jīng)地告訴你：我不知道！但直覺告訴我，應(yīng)該有路可走。你再問(wèn)我為什么，我只能一本正經(jīng)地告訴你：我可能看的書比你多。 其實(shí)說(shuō)了這么多，核心的問(wèn)題還是最終回歸到了多維度物理光場(chǎng)的問(wèn)題。如果說(shuō)現(xiàn)在很多方法好像療效不太好，我再告訴你：那是因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在都是采用的線性模型，那個(gè)非線性的成像模型還在路上，但我看到，它越來(lái)越近了！

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怎么用好相位？

前面我們講了計(jì)算成像中相位的類型和相位都能干哪些事兒，那我們是不是就能用好相位呢？該怎么使用相位呢？ 要回答這個(gè)問(wèn)題首先要搞明白你要處理的那個(gè)相位到底是“誰(shuí)”的相位，誰(shuí)的鑰匙開誰(shuí)家的門；然后看相位要解決什么問(wèn)題，對(duì)癥下藥。但是，目前面臨的問(wèn)題可能有兩類：一類是有相位不知道怎么用，一類是沒有相位。

在這里，我們先把相位當(dāng)作阿堵物（錢）吧。地主家的傻兒子給他再多錢他都不知道怎么用，相反，錢越多他越危險(xiǎn)。解決問(wèn)題的辦法是娶個(gè)好媳婦。可是，哪個(gè)好姑娘會(huì)喜歡一個(gè)傻子??？！那就找一個(gè)好管家，給他梳理梳理。對(duì)于相位也是，很顯然這個(gè)高維度的信息一定帶著神秘的力量來(lái)到你身邊，你卻不知道珍惜！我們也需要問(wèn)道上天，問(wèn)相位這位神仙姐姐究竟能干啥，該怎么干。

如果一個(gè)不名一文的窮小子，不努力掙錢必然死路一條。解決問(wèn)題的方法就是要找到一條致富的道路，不能光是吃飽喝足就不求上進(jìn)了！哎，想想我自己也經(jīng)常偷懶，真是罪過(guò)??！阿彌陀佛！對(duì)于沒有相位而言，那就是想辦法引入相位，比如結(jié)構(gòu)光照明。同樣，對(duì)于相位余額不足的，目前多采用焦面前后微移動(dòng)拍攝多組數(shù)據(jù)，以更好地恢復(fù)光場(chǎng)。

你是不是覺得還是做一個(gè)掙錢夠花就行的人就好，想用多少掙多少?？上ВF(xiàn)實(shí)生活中的這種月光族，往往不敢對(duì)生活有奢求。相位的引入也是如此，還是寬裕一點(diǎn)吧，你可能根本不知道相位的深淺。你不想努力？來(lái)來(lái)來(lái)，小子，多走一步：人和廢舊物資回收站。

有人問(wèn)：毛玻璃貼上膠帶就變成透明的是怎么回事？這其實(shí)就是相位補(bǔ)償?shù)膯?wèn)題，毛玻璃的隨機(jī)起伏帶來(lái)了相位的變化，你看不清楚；貼上膠帶，由于膠合得比較好，正好做了相位的抵消，所以毛玻璃就變透明了。不信的話，你拿膠帶去貼毛玻璃平的那一面，我敢跟你賭一毛錢，毛玻璃不可能變透明。其實(shí)，這個(gè)膠帶在數(shù)學(xué)上就是毛玻璃矩陣的共軛矩陣。

審核編輯：劉清