講解RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

【動(dòng)態(tài)電路】的零狀態(tài)響應(yīng)就是電路在零初始狀態(tài)下(動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能為零)，由外施激勵(lì)源引起的響應(yīng)，與零輸入響應(yīng)不同的是，零狀態(tài)響應(yīng)內(nèi)部?jī)?chǔ)能在初始狀態(tài)是零，就是儲(chǔ)能元件初始儲(chǔ)能為零，區(qū)分好這個(gè)后，就可以方便記住了，這期介紹RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)，同樣需要點(diǎn)一階線(xiàn)性微分方程的基礎(chǔ)!

關(guān)鍵詞：RC電路;零狀態(tài)響應(yīng);

01電路結(jié)構(gòu)

如圖1-1所示，是RC電路的結(jié)構(gòu)：

圖1-1 RC電路零狀態(tài)響應(yīng)電路結(jié)構(gòu)

圖1-1中，開(kāi)關(guān)S閉合前，電容C沒(méi)有充電，其電容電壓為0，得已知條件為：

02分析思路

開(kāi)關(guān)S閉合后，電容儲(chǔ)存得能量將通過(guò)電阻以熱能得形式釋放出來(lái)，以開(kāi)關(guān)動(dòng)作為(t=0)，那么開(kāi)關(guān)閉合后，根據(jù)KVL可得：

其中電阻電壓和電容電流為：

式(1.4)與上期那個(gè)一階電路的零輸入響應(yīng)——RC電路中電流計(jì)算沒(méi)有負(fù)號(hào)的原因是，圖1-1電路電容電壓為上正下負(fù)，電流i流進(jìn)電容，給電容充電，上期電路相反，電流流出電容，電容充當(dāng)電源。

將式(1.3)和式(1.4)代入式(1.2)可得電路的微分方程為：

式(1.6)是一階線(xiàn)性非齊次方程，方程的解由非齊次方程的特解和對(duì)應(yīng)齊次方程的通解兩個(gè)分量組成，這個(gè)在“重拾數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”中進(jìn)行講解了，忘記了可以再返回去看看!

其求解公式為：

式(1.6)中等式右邊第一項(xiàng)是非齊次方程的特解，第二項(xiàng)是齊次方程的通解。特解可以通過(guò)初始條件(1.1)代入式(1.5)可以求得非齊次方程的特解為：

而齊次方程可根據(jù)上期“一階電路的零輸入響應(yīng)——RC電路”的通解為：

將式(1.8)中系數(shù)P換成時(shí)間常數(shù)為：

式(1.9)時(shí)間常數(shù)為RC，因此式(1.8)變?yōu)椋?/p>

因此式(1.6)可根據(jù)式(1.8)和式(1.7)求得為：

同時(shí)將式(1.1)的初始條件代入式(1.11)即可求得系數(shù)A為：

將式(1.12)代入式(1.11)因此式(1.11)可為：

將電容電壓進(jìn)行求導(dǎo)即可求得電容電流i為：

電路中電壓、電流的波形如圖1-2所示：

圖1-2 電路電壓、電流波形

圖1-2說(shuō)明，電容電壓以指數(shù)形式趨近于它的最終恒定值Us，到達(dá)該值后，電壓和電流不再變化，電容相當(dāng)于開(kāi)路，電流為零，此時(shí)電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。RC電路接通直流電壓源的過(guò)程也即是電源通過(guò)電阻對(duì)電容進(jìn)行充電的過(guò)程。