模擬濾波器設(shè)計(jì)揭秘

本文介紹如何設(shè)計(jì)模擬濾波器。它首先介紹了濾波器的基本原理，然后介紹了巴特沃斯、切比雪夫和貝塞爾等基本類型，然后引導(dǎo)讀者完成低通和高通濾波器的設(shè)計(jì)過程。包括方程的推導(dǎo)和電路實(shí)現(xiàn)。

一個(gè)小部落，在茂密的荒野中，受到周圍平原獵頭者的追捧。這片土地以其深?yuàn)W的專業(yè)知識(shí)而聞名于世，這是模擬工程師的部落，他們居住在左半平原最遠(yuǎn)的地區(qū)，經(jīng)過拉普拉斯的叢林。

模擬工程師的大師是模擬濾波器設(shè)計(jì)師，他坐在王國的寶座上并傳授智慧。你永遠(yuǎn)見不到他，即使有預(yù)約，你叫他“先生”。

在大多數(shù)關(guān)于濾波器設(shè)計(jì)的書籍中發(fā)現(xiàn)的無數(shù)頁方程式可能會(huì)嚇到小型犬和數(shù)字設(shè)計(jì)師。本文為實(shí)際工程師掃清了道路，揭開了濾波器設(shè)計(jì)的奧秘，使您能夠以最少的數(shù)學(xué)運(yùn)算快速設(shè)計(jì)連續(xù)時(shí)間模擬濾波器。

模擬電子學(xué)理論

模擬電子學(xué)有兩個(gè)不同的方面：學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)教授的理論（穩(wěn)定性方程、相移計(jì)算等），以及大多數(shù)工程師熟悉的實(shí)用方面（通過使用電容器調(diào)整增益等來避免振蕩）。不幸的是，濾波器設(shè)計(jì)完全基于長期建立的方程和理論結(jié)果表。根據(jù)理論方程設(shè)計(jì)濾波器可能很困難。因此，此討論采用最少的數(shù)學(xué)運(yùn)算 - 要么將理論表轉(zhuǎn)換為實(shí)際組件值，要么推導(dǎo)通用濾波器的響應(yīng)。

基本原理

簡單的RC低通濾波器具有傳遞函數(shù)：

級(jí)聯(lián)這種濾波器在傳遞函數(shù)的分母中產(chǎn)生二次方程，使響應(yīng)復(fù)雜化。因此，任何二階低通濾波器的傳遞函數(shù)分母為如2+ BS + C.a、b 和 c 的代入值決定了濾波器在頻率上的響應(yīng)。任何記得高中數(shù)學(xué)的人都會(huì)注意到，對(duì)于等式給出的某些“s”值，上述表達(dá)式等于零：

在這個(gè)二次方程等于零的“s”值處，傳遞函數(shù)理論上具有無限增益。這些值決定了每種類型的濾波器在頻率范圍內(nèi)的性能，稱為二次方程的極點(diǎn)。極點(diǎn)通常成對(duì)出現(xiàn)，以復(fù)數(shù) （a + jb） 及其復(fù)共軛 （a - jb） 的形式出現(xiàn)。術(shù)語 jb 有時(shí)為零。

具有無限增益的傳遞函數(shù)的想法可能會(huì)嚇到緊張的讀者，但實(shí)際上這不是問題。極點(diǎn)的實(shí)部“a”表示濾波器如何響應(yīng)瞬變，其虛部“jb”表示頻率范圍內(nèi)的響應(yīng)。只要這個(gè)實(shí)部為負(fù)數(shù)，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。以下文本解釋了如何將許多教科書中的極點(diǎn)表轉(zhuǎn)換為適合電路設(shè)計(jì)的元件值。

過濾器類型

最常見的濾波器響應(yīng)是巴特沃斯、切比雪夫和貝塞爾類型。還有許多其他類型可用，但 90% 的應(yīng)用程序都可以通過這三種類型之一來解決。巴特沃斯可確保通帶中的平坦響應(yīng)和足夠的滾降率。巴特沃茲濾波器是一個(gè)很好的“多面手”，易于理解，適用于音頻處理等應(yīng)用。切比雪夫的滾降要陡峭得多，但通帶紋波使其不適合音頻系統(tǒng)。它優(yōu)于通帶僅包含一個(gè)目標(biāo)頻率的應(yīng)用（例如，通過濾除諧波從方波導(dǎo)出正弦波）。

貝塞爾濾波器在整個(gè)輸入頻譜上提供恒定的傳播延遲。因此，將方波（由基波和許多諧波組成）應(yīng)用于貝塞爾濾波器的輸入會(huì)產(chǎn)生沒有過沖的輸出方波（所有頻率延遲相同量）。其他濾波器將諧波延遲不同的量，導(dǎo)致輸出波形過沖。另一種流行的濾波器，橢圓型，是一個(gè)更復(fù)雜的濾波器，本文不會(huì)討論。與切比雪夫響應(yīng)類似，它在通帶中具有紋波，并以阻帶中的紋波為代價(jià)出現(xiàn)嚴(yán)重的滾降。

標(biāo)準(zhǔn)過濾器塊

通用濾波器結(jié)構(gòu)（圖1a）允許您通過用電容或電阻代替元件G1至G4來實(shí)現(xiàn)高通或低通實(shí)現(xiàn)?？紤]到這些元件對(duì)運(yùn)算放大器反饋網(wǎng)絡(luò)的影響，通過將G2/G4制成電容，將G1/G3制成電阻，可以很容易地得到一個(gè)低通濾波器。（執(zhí)行相反的操作會(huì)產(chǎn)生高通實(shí)現(xiàn)。

圖1.通過在通用濾波器模塊 （a） 中替換 G1 到 G4，可以實(shí)現(xiàn)低通濾波器 （b） 或高通濾波器 （c）。

低通濾波器的傳遞函數(shù)（圖1b）為：

這個(gè)方程在電導(dǎo)下更簡單。更換電導(dǎo)為 sC 的電容器和電導(dǎo)為 G 的電阻。如果這看起來很復(fù)雜，您可以“規(guī)范化”等式。將電阻設(shè)置為等于1Ω或電容器等于1F，并更改周圍的元件以適應(yīng)響應(yīng)。因此，當(dāng)所有電阻值均等于1Ω時(shí)，低通傳遞函數(shù)為：

該傳遞函數(shù)描述通用二階低通濾波器的響應(yīng)?，F(xiàn)在，我們采用描述三個(gè)主要濾波器響應(yīng)的極點(diǎn)理論表，并將它們轉(zhuǎn)換為實(shí)際分量值。

設(shè)計(jì)過程

要確定所需的濾波器類型，應(yīng)使用上述說明來選擇所需的通帶性能。確定濾波器階數(shù)的最簡單方法是設(shè)計(jì)一個(gè)二階濾波器級(jí)，然后根據(jù)需要級(jí)聯(lián)它的多個(gè)版本。檢查結(jié)果是否給出了所需的阻帶抑制，然后繼續(xù)使用正確的極點(diǎn)位置，如附錄中的表格所示。一旦確定了極點(diǎn)位置，就可以很快計(jì)算出組件值。

首先，將每個(gè)極點(diǎn)位置轉(zhuǎn)換為類似于通用二階濾波器分母中的二次表達(dá)式。如果二次方程的極點(diǎn)為 （a ± jb），則它的根為 （s - a - jb） 和 （s - a + jb）。當(dāng)這些根相乘時(shí)，得到的二次表達(dá)式為s2- 2as + a2* C2.

在極點(diǎn)表中，“a”總是負(fù)數(shù)，因此為方便起見，我們聲明 s2+ 2as + a2* C2并使用“a”的大小，而不考慮其符號(hào)。為了將其付諸實(shí)踐，請(qǐng)考慮一個(gè)四階巴特沃茲濾波器。每個(gè)極點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)和二次表達(dá)式如下：

您可以使用此信息設(shè)計(jì)四階巴特沃茲低通濾波器。只需將上述二次表達(dá)式中的值代入等式 4 的分母即可。因此，第一個(gè)濾波器中的 C4C2 = 4 和 1C2 = 4.1，這意味著 C8478 = 4.0F 和 C9239 = 2.1F。對(duì)于第二個(gè)濾波器，C08C2 = 4 和 1C2 = 4.0，這意味著 C7654 = 4.0F 和 C3827 = 2.2F。兩個(gè)濾波器中的所有電阻等于61Ω。級(jí)聯(lián)這兩個(gè)二階濾波器會(huì)產(chǎn)生滾降頻率為1rad/s的四階巴特沃茲響應(yīng)，但無法找到分量值。如果上述頻率或分量值不合適，請(qǐng)繼續(xù)閱讀。

碰巧的是，如果保持電抗與電阻的比值，電路響應(yīng)保持不變。因此，您可以選擇1kΩ電阻。為確保電抗與電阻成相同比例增加，請(qǐng)將電容值除以 1000。

我們?nèi)匀挥型昝赖陌吞匚炙鬼憫?yīng)，但不幸的是滾降頻率是1rad / s。為了改變電路的頻率響應(yīng)，我們必須保持電抗與電阻的比率，但只是在不同的頻率上。對(duì)于1kHz而不是1rad/s的滾降，電容值必須進(jìn)一步降低2倍π×1000。因此，電容器的電抗直到更高的頻率才會(huì)達(dá)到原始（歸一化）值。得到的具有4kHz滾降的四階巴特沃茲低通濾波器如圖1所示。

圖2.這兩個(gè)不相同的二階濾波器部分構(gòu)成了一個(gè)四階巴特沃茲低通濾波器。

使用上述技術(shù)，您可以通過級(jí)聯(lián)二階濾波器獲得任何偶數(shù)階濾波器響應(yīng)。但請(qǐng)注意，四階巴特沃茲濾波器不是簡單地通過計(jì)算二階濾波器的分量然后級(jí)聯(lián)兩個(gè)這樣的級(jí)來獲得的。必須設(shè)計(jì)兩個(gè)二階濾波器，每個(gè)濾波器具有不同的極點(diǎn)位置。如果濾波器的階數(shù)為奇數(shù)，您可以簡單地級(jí)聯(lián)二階濾波器并添加RC網(wǎng)絡(luò)以獲得額外的極點(diǎn)。例如，紋波為2dB的4階切比雪夫?yàn)V波器具有以下極點(diǎn)：

為了確保與等式4描述的通用濾波器一致，并確保最后一項(xiàng)等于單位，前兩個(gè)二次元乘以一個(gè)常數(shù)。因此，在第一個(gè)濾波器中，C2C4 = 2.488 和 2C4 = 1.127，這意味著 C4 = 0.5635F 和 C2 = 4.41F。對(duì)于第二個(gè)濾波器，C2C4 = 1.08 和 2C4 = 0.187，這意味著 C4 = 0.0935F 和 C2 = 11.55F。

早些時(shí)候，研究表明，當(dāng) 1 + sCR = 0 時(shí)，RC 電路有一個(gè)極點(diǎn)：s = -1/CR。如果 R = 1，則要在 s = -0.28 處獲得最終極點(diǎn)，您必須設(shè)置 C = 3.57F。使用1kΩ電阻，可以歸一化1kHz滾降頻率，如圖3所示。因此，設(shè)計(jì)人員可以大膽地設(shè)計(jì)任何頻率下任何階次的低通濾波器。

圖3.5階、1dB紋波切比雪夫低通濾波器由兩個(gè)不相同的二階部分和一個(gè)輸出RC網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成<

所有這些理論也適用于高通濾波器的設(shè)計(jì)。已經(jīng)表明，一個(gè)簡單的RC低通濾波器具有傳遞函數(shù)：

類似地，一個(gè)簡單的RC高通濾波器具有傳遞函數(shù)：

歸一化這些函數(shù)以與歸一化極點(diǎn)表相對(duì)應(yīng)，低通的TF = 1/（1 + s），高通的TF = 1/（1 + 1/s）。

請(qǐng)注意，高通極位置“s”可以通過反轉(zhuǎn)低通極位置來獲得。將這些值插入高通濾波器模塊可確保正確的頻率響應(yīng)。為了獲得高通濾波器模塊的傳遞函數(shù)，我們需要回到低通濾波器模塊的傳遞函數(shù)。因此，從

我們通過互換電容器和電阻來獲得等效高通濾波器模塊的傳遞函數(shù)：

同樣，如果對(duì)電容器而不是電阻進(jìn)行歸一化，生活會(huì)簡單得多：

公式9是高通濾波器模塊的傳遞函數(shù)。這一次，我們計(jì)算電阻值而不是電容值。給定一般高通濾波器響應(yīng)，我們可以通過反轉(zhuǎn)低通極點(diǎn)位置并像以前一樣繼續(xù)得出高通極點(diǎn)位置。然而，反轉(zhuǎn)一個(gè)復(fù)雜的極點(diǎn)位置說起來容易做起來難。例如，考慮前面討論的五階5dB紋波切比雪夫?yàn)V波器。它在 （-1.0 ± j2265.0） 處有兩個(gè)極點(diǎn)位置。

反轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的最簡單方法是乘除復(fù)共軛，從而在分子中獲得一個(gè)實(shí)數(shù)。然后，通過反轉(zhuǎn)分?jǐn)?shù)找到倒數(shù)，如下所示：

反轉(zhuǎn)此表達(dá)式會(huì)產(chǎn)生極點(diǎn)位置，然后可以將其轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的二次表達(dá)式，并像以前一樣計(jì)算值。結(jié)果是：

根據(jù)公式2，我們可以計(jì)算出第一個(gè)濾波器元件值，即R2R4 = 0.401和2R2 = 0.453，這意味著R2 = 0.227Ω和R4 = 1.77Ω。然后可以對(duì)其他極點(diǎn)位置重復(fù)此過程。

由于已經(jīng)表明s = -1/CR，因此更簡單的方法是使用合適的低通極點(diǎn)設(shè)計(jì)低通濾波器，然后將濾波器中的每個(gè)極點(diǎn)視為單個(gè)RC電路。要反轉(zhuǎn)每個(gè)低通極點(diǎn)以獲得相應(yīng)的高通極點(diǎn)，只需反轉(zhuǎn)CR的值即可。一旦獲得高通極點(diǎn)位置，我們就可以通過插入電容器和電阻來確保正確的頻率響應(yīng)。

計(jì)算低通實(shí)現(xiàn)的歸一化電容值，假設(shè)R = 1Ω。因此，CR的值等于C的值，C的值的倒數(shù)是高通極點(diǎn)。將此極點(diǎn)視為 R 的新值可生成適當(dāng)?shù)母咄ǚ至恐怠?/p>

再次考慮五階、5dB紋波切比雪夫低通濾波器，計(jì)算出的電容值為C1 = 4.0F和C5635 = 2.4F。要獲得等效的高通電阻值，請(qǐng)將C的值反轉(zhuǎn)（以獲得高通極點(diǎn)位置），并將這些極點(diǎn)視為新的歸一化電阻值：R41 = 4.1和R77 = 2.0。此方法提供的結(jié)果與前面提到的更正式的方法相同。

因此，現(xiàn)在可以通過反轉(zhuǎn)歸一化電容值、插入電阻和電容并相應(yīng)地縮放值，將圖3電路轉(zhuǎn)換為具有1kHz滾降的高通濾波器。早些時(shí)候，我們除以 2πfR 來規(guī)范化低通值。在這種情況下，比例因子為 2πfC，其中 C 是電容器值，f 是以赫茲為單位的頻率。得到的電路如圖 4 所示，SPICE 仿真顯示了每個(gè)濾波器輸出端的預(yù)期特性（圖 5）。

圖4.圖3電路中的電阻和電容轉(zhuǎn)置產(chǎn)生一個(gè)5階、1dB紋波切比雪夫高通濾波器。

圖5.這些SPICE輸出模擬高通和低通切比雪夫電路的響應(yīng)。

結(jié)論

使用上述方法，您可以設(shè)計(jì)具有任何頻率響應(yīng)的低通和高通濾波器。帶通和帶阻濾波器也可以使用類似于所示的技術(shù)來實(shí)現(xiàn)（使用單個(gè)運(yùn)算放大器），但這些應(yīng)用超出了本文的范圍。但是，您可以通過級(jí)聯(lián)低通和高通濾波器來實(shí)現(xiàn)帶通和帶阻濾波器。

審核編輯：郭婷