麥克斯韋的方程式

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋是一位蘇格蘭物理學(xué)家，他最著名的是他在經(jīng)典電磁學(xué)物理理論方面的工作。我們經(jīng)常談?wù)擕溈怂鬼f方程組，它巧妙地將所有電磁現(xiàn)象打包成四個(gè)非常簡(jiǎn)單的方程式。

除此之外，麥克斯韋還從事電磁學(xué)以外的物理學(xué)其他領(lǐng)域的研究。事實(shí)上，他為我們理解熱力學(xué)、熱能傳遞研究做出了巨大貢獻(xiàn)，以至于他在這個(gè)領(lǐng)域還有很多以他的名字命名的關(guān)系式。

上圖就是其中一個(gè)例子，它看起來很復(fù)雜，但我將在本文中逐步解讀它的含義。我們將從熱力學(xué)第一定律開始，它基本上是一個(gè)關(guān)注能量守恒的定律。讓我們考慮一個(gè)特定的系統(tǒng)來研究。

假設(shè)我們正在研究一種由許多小原子組成的氣體，并且假設(shè)這種氣體是孤立的?，F(xiàn)在我們可以說這種氣體具有一定的“內(nèi)能”，并用字母U標(biāo)記。事實(shí)上，內(nèi)能基本上是所有這些小原子的能量總和，包括它們的動(dòng)能以及由于它們相互施加的力而產(chǎn)生的勢(shì)能。

現(xiàn)在，這種氣體有多少內(nèi)能并不是特別重要，重要的是內(nèi)能如何變化。我們可以為內(nèi)能的變化寫一個(gè)簡(jiǎn)單的表達(dá)式，我們稱之為dU。在這個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)中，內(nèi)部能量可以以兩種方式變化：一種是熱量的傳遞，另一種是系統(tǒng)做功，可以用公式寫成dU=δQ-δW。

有必要澄清一下為什么這里有一個(gè)減號(hào)，這與我們?nèi)绾味x能量流有關(guān)。在這里，熱量被轉(zhuǎn)移到氣體中，δQ為正，反之為負(fù)；而當(dāng)系統(tǒng)對(duì)外做功時(shí)，δW為正，反之為負(fù)。這是最初從事這項(xiàng)工作的科學(xué)家選擇的約定。

現(xiàn)在，我們還可以更詳細(xì)地了解熱量和功。我們可以根據(jù)系統(tǒng)的其他屬性來描述它們，比如它的溫度、壓力、體積和熵。具體來說，由于熱量傳遞引起的能量變化可以通過系統(tǒng)的溫度乘以其熵的改變來描述：δQ=TdS。由于系統(tǒng)所做的功而轉(zhuǎn)移的能量由系統(tǒng)壓力乘以其體積變化得出：δW=PdV。因此，我們可以將整個(gè)式子重新寫成以下形式：dU=TdS-PdV。

接下來，我們將用到一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)則。每當(dāng)我們有一個(gè)看起來像這樣的表達(dá)式時(shí)：dz =Adx+Bdy，我們可以使用微積分的知識(shí)得到A和B的表達(dá)式。

我們現(xiàn)在可以采用這個(gè)表達(dá)式，并回到我們熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式。我們意識(shí)到，如果體積保持不變，溫度必須等于內(nèi)能相對(duì)于熵的變化率；同樣，如果熵保持不變，壓力必須等于內(nèi)能相對(duì)于體積的變化率。

我們可以更進(jìn)一步，考慮采用二階導(dǎo)數(shù)。

現(xiàn)在，從數(shù)學(xué)上來看，這兩個(gè)量是相等的。這意味著當(dāng)我們熵保持不變，改變體積時(shí)溫度變化的速度，等于體積保持不變時(shí)壓力隨熵改變的速度： 。在這里我們發(fā)現(xiàn)了溫度如何隨體積變化以及壓力如何隨熵變化之間的全新關(guān)系。這是我們應(yīng)用數(shù)學(xué)和熱力學(xué)定律發(fā)現(xiàn)的，如果僅從系統(tǒng)的物理特性來看并不明顯。

這里的這個(gè)方程是麥克斯韋關(guān)系式的一個(gè)例子。在不同的情況下，還有更多基于熱力學(xué)的公式。它們的定義可用于推導(dǎo)其他麥克斯韋關(guān)系，如下所示。

所以基本上，麥克斯韋在許多領(lǐng)域做了很多重要的工作，因此他的電磁方程并不是唯一的“麥克斯韋方程”。