二端口網(wǎng)絡(luò)噪聲分析方法在低噪聲放大器中的應(yīng)用

系統(tǒng)中的噪聲限制了一個(gè)電路能夠正確處理的最小信號(hào)電平，它與功耗、速度、線性度之間是相互制約的。比如在一個(gè)接收機(jī)中，系統(tǒng)整體的噪聲系數(shù)和系統(tǒng)帶寬和載噪比共同決定該接收機(jī)的靈敏度，越低的噪聲系數(shù)意味著接收機(jī)能檢測(cè)并接收到更低的信號(hào)功率，其靈敏度越高。這說明了在電路中進(jìn)行噪聲優(yōu)化和分析的必要性。此篇通過分析電阻和MOS管器件噪聲的來源，主要介紹二端口網(wǎng)絡(luò)噪聲分析方法，并在設(shè)計(jì)低噪聲放大器時(shí)應(yīng)用該方法對(duì)器件合理選型以在輸入匹配的前提下實(shí)現(xiàn)盡可能低的噪聲系數(shù)。

01

基本噪聲源

由于噪聲是一個(gè)隨機(jī)變量，直接從時(shí)域研究幅值較為困難，因此可以根據(jù)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，可以將噪聲利用功率密度譜的方式定義成S(f)，其單位為，其在電路模型中又通?？梢员硎緸殡妷涸肼曉椿螂娏髟肼曉吹男问?，這些噪聲電流源（或噪聲電壓源）既可能是相關(guān)的，也可能是無關(guān)的，這主要取決于在器件中噪聲源的相關(guān)性。

噪聲通過大類大致可分為熱噪聲、散粒噪聲、閃爍噪聲、爆米噪聲等。對(duì)于散粒噪聲，在MOSFET中幾乎不是一個(gè)顯著的噪聲；對(duì)于神秘的MOS管閃爍噪聲，其公式包含著各種經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，比較統(tǒng)一的結(jié)論是電荷的捕獲現(xiàn)象能夠解釋1/f噪聲的產(chǎn)生、增大晶體管可以減少1/f噪聲等，在混頻器和VCO中也存在對(duì)閃爍噪聲的分析；對(duì)于爆米噪聲，用數(shù)學(xué)描述它的意義不大，因?yàn)樗鼤r(shí)時(shí)在發(fā)生變化，同樣人們對(duì)其認(rèn)知也有限。一般，由于希望通過建模的方式去分析噪聲，因此我們側(cè)重于分析熱噪聲（由于其比較成熟的理論公式和來源分析）。

電阻熱噪聲公式：

MOS管溝道和柵熱噪聲公式：

上述公式的推導(dǎo)和現(xiàn)代理論對(duì)于上述公式的修正和考慮可以參見參考文獻(xiàn)。

02

二端口網(wǎng)絡(luò)的噪聲因子

網(wǎng)絡(luò)噪聲性能的優(yōu)劣主要通過噪聲因子來衡量，可以定義為：

進(jìn)一步，為適用不同二端口網(wǎng)絡(luò)的分析，網(wǎng)絡(luò)的噪聲特性可以用輸入?yún)⒖荚肼曤妷?img src="http://file1.elecfans.com/web2/M00/8C/21/wKgZomSmZDqAKiV2AAABWoyFREA694.jpg" alt="圖片" />和電流表示，則噪聲系數(shù)的表達(dá)式為：

這里的二端口網(wǎng)絡(luò)由一個(gè)導(dǎo)納以及等效的并聯(lián)噪聲電流構(gòu)成的噪聲源驅(qū)動(dòng)。

由于和可能表現(xiàn)出相關(guān)性，將表示與無關(guān)的部分，其噪聲功率可以直接相加；相關(guān)部分，將因此可以將噪聲系數(shù)表達(dá)式簡(jiǎn)化為，：

觀察上式，、、是網(wǎng)絡(luò)特有的參數(shù)，和是噪聲驅(qū)動(dòng)源的參數(shù)，每個(gè)噪聲源都可以看作一個(gè)等效電阻或電導(dǎo)產(chǎn)生的熱噪聲，電納部分不產(chǎn)生噪聲：

則噪聲因子最后可以只用阻抗和導(dǎo)納項(xiàng)表示：

觀察上式，、、、是網(wǎng)絡(luò)特有的參數(shù)，、是驅(qū)動(dòng)源電導(dǎo)和電納。在設(shè)計(jì)中，若網(wǎng)絡(luò)參數(shù)固定后（如表現(xiàn)為輸入阻抗為50歐的限制），則可以求解平方項(xiàng)歸零和對(duì)源電導(dǎo)求導(dǎo)，讓噪聲系數(shù)達(dá)到最小時(shí)的噪聲源導(dǎo)納如下：

噪聲因子可以表示成：

是最小噪聲系數(shù)，常數(shù)噪聲因子的等值線理論上是一些不相重疊的圓，稱為恒噪聲系數(shù)圓。

03

MOS管的端口網(wǎng)絡(luò)噪聲參數(shù)

在具體的網(wǎng)絡(luò)分析中，掌握模型內(nèi)部的噪聲源在輸入的表示還是必要的，這有助于推算每個(gè)網(wǎng)絡(luò)特性參數(shù)，最后代入通式求解。對(duì)于單個(gè)MOS，若要進(jìn)行噪聲匹配，可以計(jì)算出輸入網(wǎng)絡(luò)噪聲參數(shù)：

可以知道最優(yōu)信號(hào)源電導(dǎo)值為：

又由可知所要求的信號(hào)源電納本質(zhì)上是電感性的，且頻率特性不正確（本應(yīng)與成反比），因此很難做到寬帶噪聲匹配，且計(jì)算過程與最大功率傳輸條件（阻抗匹配）無關(guān)。不過可以從的表達(dá)式中得出兩個(gè)有效的結(jié)論，即隨著MOSFET尺寸的減小，截止頻率提高，在噪聲參數(shù)不變的前提下，最小噪聲因子會(huì)降低；另外在后續(xù)放大器拓?fù)涞脑肼暺ヅ渲?，將?img src="http://file1.elecfans.com/web2/M00/8C/21/wKgZomSmZDuAIv9zAAABapTOyJ8975.jpg" alt="圖片" />為參考，表示放大器拓?fù)淠苓_(dá)到的的最小噪聲因子。

設(shè)計(jì)中通常要求網(wǎng)絡(luò)對(duì)外展現(xiàn)一定的輸入阻抗（如50歐），問題轉(zhuǎn)變?yōu)樵诠潭ㄝ斎胱杩瓜碌淖顑?yōu)噪聲系數(shù)求解。

04

源退化匹配下的噪聲優(yōu)化

為了獲得50歐的輸入阻抗，除了利用電阻強(qiáng)制匹配，負(fù)反饋電阻匹配，共柵電路匹配（溝道電阻）之外（這三種的信號(hào)通路都存在有噪聲的電阻），一種比較巧妙的辦法能夠在不加入真實(shí)電阻的情況下獲得輸入阻抗的電阻分量，從而不降低放大器的噪聲性能，即源退化電感結(jié)構(gòu)。

對(duì)于單管的輸入阻抗大家都比較熟悉，但對(duì)于源退化單管，由于器件尺寸的縮小將呈現(xiàn)為一個(gè)有限值，這會(huì)導(dǎo)致共源負(fù)載諧振網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入阻抗較大的影響，尤其是在中心諧振頻率附近輸入阻抗下降嚴(yán)重：

同時(shí)隨著頻率的上升，也將參與到輸入阻抗實(shí)部的貢獻(xiàn)：

這直接要求我們利用Cascode結(jié)構(gòu)和增加源退化電感值來減小輸入阻抗的波動(dòng)。

同樣對(duì)于這種方式，依然可以求解輸入網(wǎng)絡(luò)噪聲參數(shù)（是柵極非準(zhǔn)靜態(tài)阻抗系數(shù)，一般為5）：

可求出對(duì)應(yīng)的噪聲因子：

在上式中若保持過驅(qū)動(dòng)電壓固定的情況下，意味著截止頻率不變，從數(shù)學(xué)上講存在最優(yōu)跨導(dǎo)，對(duì)應(yīng)于最優(yōu)的MOS寬度選型（注意不一定是功耗最優(yōu)處）。

對(duì)上式的項(xiàng)求導(dǎo)并令其結(jié)果為零，在滿足工作頻率遠(yuǎn)小于特征頻率和另外一個(gè)參數(shù)條件時(shí)，該結(jié)構(gòu)能達(dá)到的最低噪聲因子理論上就是單MOS管的最小噪聲因子（代入可見與式單管一致）：

此時(shí)最優(yōu)跨導(dǎo)為：

由于截止頻率與跨導(dǎo)存在如下關(guān)系：

則MOS管的最優(yōu)寬度W為：

*注：在文獻(xiàn)[2]中，最后也能得到與上述同樣的結(jié)論，為直接使用了晶體管最優(yōu)導(dǎo)納公式，而上面為考慮非準(zhǔn)靜態(tài)阻抗得出的結(jié)論，兩者復(fù)雜度完全不在一個(gè)層面。這里為謹(jǐn)慎起見，按照新的網(wǎng)絡(luò)輸入噪聲參數(shù)計(jì)算。

因此在設(shè)計(jì)中，可以直接通過上述公式選擇最優(yōu)柵寬，這是一個(gè)與過驅(qū)動(dòng)電壓無關(guān)的量。假設(shè)工作在10.525GHz的中心頻率處，我們選取:

（由介電常數(shù)和厚度比值計(jì)算得到）

計(jì)算可得最優(yōu)的柵寬約為140，結(jié)合晶體管單元優(yōu)化寬度為5，一般就可以合理選取晶體管的unit cell數(shù)目了，最優(yōu)噪聲因子約為1.19，噪聲系數(shù)約為0.75dB。過驅(qū)動(dòng)電壓的選取可以根據(jù)噪聲系數(shù)的要求選取最低的值。

另外，從公式中可以看出最小噪聲因子和過驅(qū)動(dòng)電壓（即截止頻率）成反比，更大的過驅(qū)動(dòng)電壓能導(dǎo)致更低的噪聲系數(shù)，在其他條件不變的情況下放大器的功耗也會(huì)進(jìn)一步增加。定性來講，可以通過增加過驅(qū)動(dòng)電壓，改變柵寬 W （由于前面推得最優(yōu)噪聲因子的條件是在過驅(qū)動(dòng)電壓恒定下的噪聲因子），使噪聲因子不變的同時(shí)降低功耗。定量來說，需要構(gòu)建直流功耗和噪聲系數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，期間需要通過復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，在功耗確定的情況下，調(diào)整可變參數(shù)達(dá)到最優(yōu)值，對(duì)應(yīng)最小噪聲因子。