作者:John Dunn(EDN專欄作者) 編譯:Anthea Chuang,EDN Taiwan 責編:Luffy Liu 本文來源EDN電子技術(shù)設計
本文作者從他所知的高斯概率分布數(shù)學公式做出精彩的分析,最后導引到作為數(shù)學新手所經(jīng)歷的問題…許多人都是被教導如何使用數(shù)學大師們的努力成果,但是高斯如何得到他理論的結(jié)果?甚至其他大師們又是如何推論出偉大的定理?
這個模擬世界中的各種物理過程都表現(xiàn)出一定程度的隨機性,例如,請想想噪聲。高斯概率分布(Gaussian probability distributions)描述了許多噪聲過程,我們應該看看它的數(shù)學公式。
從一個非常簡單的公式開始,考慮高斯概率分布的“鐘形曲線(bell curve)”公式:
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無需繪制圖片,我們知道公式1所描述的曲線在x值為零時具有y值,并且我們進一步知道隨著x值朝向任一值,y值都變?yōu)榱悖摕o窮大或正無窮大。
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接下來,依照上面的公式添加“零”和數(shù)字“ 1”,這實際上并沒有改變?nèi)魏蝺?nèi)容,但是會引導我們進行下一步。下面的公式3引入了平均值和標準偏差。
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本文的“平均值”是一個新的中心值,圍繞它的x值更改將影響y值?,F(xiàn)在,當x值等于平均值時,y值將變?yōu)?,其中平均值可以為零,也可以為任何非零值?!皹藴势?standard deviation)”將影響隨著x值偏離均值,y值向零下降的速度有多快。
標準偏差的較大值將要求x值與平均值相差很大,從而明顯降低y值。另一方面,當標準偏差較小時,x值與均值的微小偏差將使y值更快地變?yōu)榱恪?
現(xiàn)在,繪制幾張圖片,以圖形方式查看均值和標準偏差如何完成各自的工作(圖1)。
圖1 顯示平均值和標準偏差的影響。
接下來,透過標準偏差的倒數(shù)來縮放y值。請不要擔心為何我們要這樣做,請繼續(xù)往下看。
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如果再仔細看一下圖片,會看到標準偏差的附加影響(圖2)。
圖2 顯示標準偏差的附加影響。
接下來,輸入另一個比例因子,即2 *π的平方根的倒數(shù)。再度呼吁,不用擔心為什么,只要繼續(xù)看下去。
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現(xiàn)在,導入一個稱為“方差(variance)”的新術(shù)語。方差只是標準偏差的平方。可以將公式重寫為:
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至此,我們已經(jīng)完成了。如圖2所示,如果針對從負無窮大到正無窮大的x值范圍內(nèi)的y值整合這最后兩個公式中的任何一個并進行積分,則曲線下的面積等于1或等于1。使用我們進行的看似任意縮放,最后兩個公式中的任何一個將產(chǎn)生一個積分結(jié)果。
無論你選擇的是平均值、標準偏差還是方差,積分總是為1,這就是高斯概率分布,可以隨意選擇。
現(xiàn)在,我想談談作為數(shù)學新手所經(jīng)歷的一個問題。我試著理解卡爾·弗里德里?!じ咚?Carl Friedrich Gauss)等如此偉大大師的作品。然而高斯工作時,純粹是行動上的智慧。
他推斷出上述公式中需要2 *π的平方根,但是高斯如何得出他的結(jié)果?我從未見過任何關(guān)于這方面的解釋,也從未見過關(guān)于羅必達(l’Hospital)如何得出他尋找極限規(guī)則的任何解釋,也沒有見過關(guān)于帕普斯(Pappus)理論中尋找環(huán)形物體積或其他定理的任何解釋。我只是被教導了這些天才努力的最終結(jié)果,以及如何應用其結(jié)果,僅此而已。 不知何故,由于缺乏更深層的解釋,因此我覺得被哄騙。
審核編輯:劉清
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原文標題:聊聊高斯概率分布的數(shù)學公式
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