Simulink中構(gòu)造時(shí)變傳遞函數(shù)的四種方法

1. 原****由

傳遞函數(shù)是針對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變（Linear Time-Invariant，LTI）系統(tǒng)定義的，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，時(shí)變傳遞函數(shù)的說(shuō)法并不十分嚴(yán)謹(jǐn)。但 “時(shí)變”和“非線(xiàn)性”才是實(shí)際系統(tǒng)的本質(zhì)特性，就拿最簡(jiǎn)單的RC電路來(lái)說(shuō)，電阻會(huì)隨溫度變化，電容也會(huì)隨使用時(shí)間發(fā)生變化，RC參數(shù)的變化就會(huì)造成傳遞函數(shù)的時(shí)變。對(duì)于已經(jīng)建好的傳遞函數(shù)，需要分析參數(shù)時(shí)變的影響時(shí)，或者已經(jīng)建好的某種控制算法，需要驗(yàn)證對(duì)于參數(shù)時(shí)變的適應(yīng)能力時(shí)，應(yīng)該如何處理呢？

這時(shí)，由線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)推廣得到的時(shí)變傳遞函數(shù)是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。

2. 方法

2.1 方法一：通過(guò)微分方程實(shí)現(xiàn)時(shí)變傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)由微分方程通過(guò)拉普拉斯（Laplace）變換得到，已知傳遞函數(shù)形式后，可以反推出微分方程，再在Simulink中利用基本模塊搭建模型。

如某時(shí)變二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：

其中，k(t)，a(t)，b(t)為時(shí)變參數(shù)。

傳遞函數(shù)反推出微分方程為：

上述微分方程在Simulink中容易搭建：

更方便的是，Matlab 2017b之后在控制系統(tǒng)工具箱（Control system toolbox）中推出了時(shí)變傳遞函數(shù)模塊（Varying Transfer Function），可供用戶(hù)直接選用。

Simulink自帶的這個(gè)時(shí)變傳遞函數(shù)模塊（Varying Transfer Function）就是使用的微分方程方法實(shí)現(xiàn)的。

2.2 方法二：通過(guò)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)時(shí)變傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)還可以轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間形式，如上述二階系統(tǒng)可轉(zhuǎn)變?yōu)榭煽貥?biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間：

通過(guò)上述狀態(tài)空間形式也可在Simulink中方便的實(shí)現(xiàn)時(shí)變傳遞函數(shù)。同樣，Matlab 2017b之后在控制系統(tǒng)工具箱（Control system toolbox）中推出了時(shí)變狀態(tài)空間模塊（Varying State Space），可供用戶(hù)直接選用。

2.3 方法三：通過(guò)S函數(shù)實(shí)現(xiàn)時(shí)變傳遞函數(shù)

核心思路與方法二相同，即：傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間（可選可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀標(biāo)準(zhǔn)型），通過(guò)傳遞函數(shù)系數(shù)重構(gòu)狀態(tài)空間矩陣，通過(guò)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)時(shí)變傳遞函數(shù)。

在Matlab 2017b版本中推出線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)表達(dá)方式之前，筆者早年使用Level-2 S函數(shù)開(kāi)發(fā)時(shí)變傳遞函數(shù)模塊，可供Matlab 2017b版本以前的用戶(hù)使用 ，也可供需要學(xué)習(xí)Level-2 S函數(shù)使用方法的用戶(hù)參考。

2.4 方法四：通過(guò)DCP模塊實(shí)現(xiàn)時(shí)變傳遞函數(shù)

Simulink中的傳遞函數(shù)模塊（Transfer Fcn）的分子系數(shù)（Numerator coefficients）和分母系數(shù)（Denominator coefficients）都支持在線(xiàn)調(diào)整，即在仿真過(guò)程中可通過(guò)set_param函數(shù)來(lái)在線(xiàn)調(diào)整傳遞函數(shù)的分子分母系數(shù)，由此實(shí)現(xiàn)時(shí)變傳遞函數(shù)。

筆者開(kāi)發(fā)的DCP模塊可實(shí)現(xiàn)各類(lèi)模塊在線(xiàn)更新參數(shù)的需求，通過(guò)DCP模塊可方便的實(shí)現(xiàn)時(shí)變傳遞函數(shù)。

3. 演示

二階時(shí)變傳遞函數(shù)：

參數(shù)時(shí)變規(guī)律為：

四種方法的Simulink模型：

階躍響應(yīng)仿真結(jié)果：

正弦響應(yīng)仿真結(jié)果：

分析仿真結(jié)果 ：

其主要原因?yàn)樗姆N建模方式不同，模型中的記憶環(huán)節(jié)（如積分環(huán)節(jié)、狀態(tài)量）選取不同，記憶環(huán)節(jié)與輸出之間的映射關(guān)系也不同，因此某些參數(shù)變化體現(xiàn)在記憶環(huán)節(jié)之前的輸入?yún)?shù)中，有些參數(shù)變化體現(xiàn)在記憶環(huán)節(jié)之后的輸出參數(shù)中，由此造成突變瞬間動(dòng)態(tài)過(guò)程的響應(yīng)差別，但進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的響應(yīng)是相同的。應(yīng)用中需要根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的特點(diǎn)靈活選擇實(shí)現(xiàn)方式。