無限長連續(xù)信號的傅里葉變換和截斷離散信號的傅里葉變換有何關(guān)系？

在數(shù)字信號分析的過程中，由于計算機不可能對無限長連續(xù)的信號進(jìn)行分析處理，只能將其變成有限長度的離散的數(shù)據(jù)點，那么，無限長連續(xù)的信號的傅里葉變換和經(jīng)過采樣后截斷的離散信號的傅里葉變換之間是什么關(guān)系？它能否反映原信號的頻譜關(guān)系？這是我們所關(guān)心的主要問題。

另外，在數(shù)字分析過程中有一些問題也是需要特別注意的，如果處理的不好會引起誤差或錯誤，甚至得到完全錯誤的結(jié)果。

諸如波形離散采樣所產(chǎn)生的混疊問題、波形截斷所產(chǎn)生的泄漏問題和信號中的信噪比問題等。這些都是在數(shù)字頻率分析中所要關(guān)心的主要問題。

一、混淆與采樣定理

要把連續(xù)模擬量轉(zhuǎn)換為離散數(shù)字量，需要對連續(xù)模擬量的時間歷程 x ( t )進(jìn)行采樣。采樣就是將連續(xù)模擬信號轉(zhuǎn)換成離散數(shù)字信號。并且保證離散后的信號能唯一確定原連續(xù)信號，即要求離散信號能恢復(fù)成原連續(xù)信號。采樣一般都是以等間隔Δt取值，得到離散信號 x ( kΔt )， k =0,1,2,···，如圖1所示。

圖1 連續(xù)信號的離散化

由于離散信號 x ( kΔt )只是 x ( t )的一部分值，即 x ( kΔt )與 x ( t )是局部與整體的關(guān)系。這個局部能否反映整體，能否由離散信號 x ( kΔt )復(fù)原到連續(xù)信號 x ( t )，這與 x ( t )波形的幅值變化劇烈程度和采樣間隔Δt的大小有關(guān)，而 x ( t )波形幅值變化的劇烈程度又取決于 x ( t )的頻率分量。

1周期函數(shù)的混淆問題

對周期連續(xù)函數(shù)

如果采樣間隔

則振動信號的離散結(jié)果應(yīng)為

式中，m為整數(shù)。

當(dāng)正弦信號頻率分別為(2 mfN ± f )與f時，相應(yīng)的正弦值是相同的，所以會誤把高頻分量當(dāng)作低頻分量。如圖2所示，對圖中高頻信號sin[2 π (2 mfN ± f ) t ]按采樣間隔 Δt =1/2fN采樣后得到的離散信號就會誤認(rèn)為是低頻信號sin(2 πft )，這就是混淆。

圖2表明，若減小采樣間隔 Δt ，即增加采樣量，混淆情況將有所改變。如果原函數(shù)中的最高諧波頻率為 fm ，則應(yīng)減小采樣間隔 Δt ，使

即可保證不產(chǎn)生上述混淆問題。1/Δt稱為采樣頻率 fs ，于是，為保證不產(chǎn)生混淆現(xiàn)象，應(yīng)滿足

上式稱為Shannon采樣定理。

圖2 高、低頻混淆現(xiàn)象

2非周期函數(shù)的混淆問題

對非周期連續(xù)信號進(jìn)行離散傅氏分析時，香農(nóng) (Shannon)定理表明，若信號中的最高頻率為fmax，則為了不產(chǎn)生頻率混淆，須保證采樣頻率fs大于2倍的fmax。

除滿足Shannon定理外，采樣時間 T ，采樣間隔 Δt ，采樣量N及采樣頻率fs和頻率分辨率Δf之間存在以下關(guān)系：

由上式可見，由于N是一定的，若為避免頻率混淆而提高采樣頻率 fs （即減小采樣間隔 Δt ），將使采樣時間T減小，從而造成頻率分辨率Δf變粗。解決這一問題的辦法是先使信號通過一個低通濾波器，使濾波后的信號中的最高頻率成為fmax，然后根據(jù)采樣定理來確定采樣頻率fmax。通常fs是fmax的3～4倍。

如某頻率分析儀的采樣量為 N =1024，取 fs =4fmax，那么儀器的顯示譜線僅為256 (1024/4) 線。

二、泄漏與窗函數(shù)

對有限時間長度T的離散時域序列進(jìn)行離散傅里葉變換 (DFT) 運算，首先要對時域信號進(jìn)行截斷。這相當(dāng)于用一個高為1、長為T的矩形時域窗函數(shù)乘以原時域函數(shù)。因而引起信息損失，即窗外的信息會全部損失掉，致使導(dǎo)致頻譜分析出現(xiàn)誤差，其結(jié)果是使得本來集中于某一頻率的功率（或能量），部分被分散到該頻率鄰近的頻域，時域信號的這種損失，將導(dǎo)致頻域信號內(nèi)會附加一些頻率分量，給傅立葉變換帶來誤差，這種現(xiàn)象稱為“泄漏”現(xiàn)象。

以圖3(a)所示的連續(xù)時域信號 x ( t )=Acos2πf0t為例，其頻譜 X ( f )為圖3(b)所示的兩條譜線，集中在-f0和+f0處，即

因此， X ( f )為延時δ函數(shù)，其特性符合 b ( t )函數(shù)特性。

經(jīng)簡單截取后的樣本（圖3(e)）相當(dāng)于原信號與矩形窗函數(shù) b ( t )（圖3(c)）的乘積，即

其中矩形窗函數(shù) b ( t )的表達(dá)式為

其頻譜 B ( f )如圖3(d)所示。

按照傅氏變換的卷積定理，則有

即將頻譜圖中 B ( f )曲線在頻率軸上向左右各移動f0就成為 B ( f )* X ( f )的頻譜圖，如圖3( f )所示。經(jīng)過卷積后的不再是兩條譜線而是兩段連續(xù)譜。它表明，原來的信號被截斷后，其頻譜產(chǎn)生了畸變，原來集中在f0處的能量被分散到兩個較寬廣的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱為泄露。

如圖3(d)所示， B ( f )-f曲線在頻率范圍[-1/ T ,1/ T ]之內(nèi)的圖形叫做主瓣，在頻率范圍[ n / T , n +1/ T ],( n =1,±2,±3,···)內(nèi)的圖形都叫旁瓣。顯然，泄露上由于窗函數(shù)的頻譜是一個連續(xù)譜，它包括一個主瓣和無數(shù)的旁瓣，原來集中在主瓣的能量被泄露到旁瓣去了。

圖3 余弦連續(xù)信號倍矩形窗截斷形成的泄露

為了抑制“泄漏”，需采用特種窗函數(shù)來替代矩形窗函數(shù)。這一過程稱為窗處理，或者叫加窗。加窗的目的是使在時域上截斷信號兩端的波形突變變?yōu)槠交?，在頻域上盡量壓低旁瓣的高度。

在一般情況下，壓低旁瓣通常伴隨著主瓣的變寬，但是旁瓣的泄漏是主要考慮因素，然后才考慮主瓣變寬的泄漏問題。

在數(shù)字信號處理中常用的窗函數(shù)有：

• 矩形 (Rectangular) 窗

• 漢寧 (Hanning) 窗

• 凱塞-貝塞爾 (Kaiser-Bessel) 窗

• 平頂 (Flat Top)窗

圖4給出了上述四種窗函數(shù)的時域圖象，為了保持加窗后的信號能量不變，要求窗函數(shù)曲線與時間坐標(biāo)軸所包圍的面積相等。對于矩型窗，該面積為 T ×1，因此，對于任意窗函數(shù) w ( t )，必需滿足積分關(guān)系式

圖5分別給出了上述四種窗函數(shù)的頻譜。

圖4 常用窗函數(shù)的時域圖

圖5 常用窗函數(shù)的頻譜圖

在數(shù)字信號頻率分析中，要求對不同類型的時域信號選用不同的窗函數(shù)。例如：

• 對隨機信號的處理，通常選用漢寧窗。因為它可以在不太加寬主瓣的情況下，較大地壓低旁瓣的高度，從而有效地減少了功率泄漏；
• 對本來就具有較好的離散頻譜的信號，例如周期信號或準(zhǔn)周期信號，分析時最好選用旁瓣極低的凱塞—貝塞爾窗或平頂窗。因為這兩種窗的頻譜主瓣較寬，加窗后的波形發(fā)生了很大的變化，但其頻譜卻能較準(zhǔn)確地給出原來信號的真實頻譜值；
• 沖擊過程和瞬態(tài)過程的測量，一般選用矩形窗而不宜用漢寧窗、凱塞—貝塞爾窗或平頂窗，因為這些窗對起始端很小的加權(quán)會使瞬態(tài)信號失去其基本特性。因此，通常將截短了的矩形窗應(yīng)用于沖擊過程中力的測量（稱為力窗）。

常用的其它窗函數(shù)還有Hamming窗，Gauss(3 σ )窗，三角形窗以及指數(shù)窗等。

選擇窗函數(shù)時應(yīng)注意：

• 窗函數(shù)的主瓣寬度盡可能?。?/li>
• 主瓣高度與旁瓣高度之比盡可能大；
• 旁瓣的衰減要快；
• 在條件允許的情況下，窗函數(shù)的時間歷程應(yīng)盡量長。

三、噪聲與平均技術(shù)

在數(shù)字信號的采集和處理過程中，都有不同程度的被噪聲污染的問題，如電噪聲、機械噪聲等。這種噪聲可能來自試驗結(jié)構(gòu)本身，也可能來自測試儀器的電源及周圍環(huán)境的影響等等。

通常采用平均技術(shù)來減小噪聲的影響，一般的信號分析儀都具有多種平均處理功能，它們各自有不同的用途，我們可以根據(jù)研究的目的和被分析信號的特點，選擇適當(dāng)?shù)钠骄愋秃推骄螖?shù)。

1譜的線性平均

這是一種最基本的平均類型。采用這一平均類型時，對每個給定長度的記錄逐一作傅氏變換和其它處理，然后對每一頻率點的譜值分別進(jìn)行等權(quán)線性平均。

對于平穩(wěn)隨機過程的測量分析，增加平均次數(shù)可減小相對標(biāo)準(zhǔn)偏差。

對于平穩(wěn)的確定性過程，例如周期過程和準(zhǔn)周期過程，其理論上的相對標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該總是零，平均的次數(shù)沒有意義。不過實際的確定性信號總是或多或少的混雜有隨機的干擾噪聲，采用線性譜平均技術(shù)能減少干擾噪聲譜分量的偏差，但并不降低該譜分量的均值，因此實質(zhì)上并不增強確定性過程譜分析的信噪比。

2時間記錄的線性平均

增強確定性過程譜分析信噪比的有效途徑是，采用時間記錄的線性平均或稱時域平均。時域平均首先設(shè)定平均次數(shù) nd ，對于nd個時間記錄的數(shù)據(jù)，按相同的序號樣點進(jìn)行線性平均，然后對平均后的時間序列再做傅氏變換和其它處理。

為了避免起始時刻的相位隨機性使確定性過程的平均趨于零，時域平均應(yīng)有一個同步觸發(fā)信號。

時間記錄平均可以在時域上抑制隨機噪聲，提高確定性過程譜分析的信噪比。由于數(shù)字信號分析中，占有機時較多的是FFT運算，采用時域平均只需最后做一次FFT，與多次FFT的譜平均相比，可以節(jié)省機時，提高分析速度。然而，隨機過程的測量，一般不能采用時域平均。

3指數(shù)平均

上述譜平均和時間記錄平均都是線性平均，其參與平均的所有nd個頻域子集或時域子集賦予相等的權(quán)，即1/ nd 。

指數(shù)平均與線性平均不同，它對新的子集賦予較大的加權(quán)，越是舊的子集賦予越小的加權(quán)。例如HP3582A譜分析儀的指數(shù)平均，就是對最新的子集賦予 1/4 加權(quán)，而對以此前經(jīng)過指數(shù)平均的譜再賦予3/4的加權(quán)，二者相加后作為新的顯示或輸出的譜。也就是說，在顯示或輸出的譜中，最新的一個譜子集（序號 m ）的權(quán)是1/4，從它往回數(shù)序號為m-n的子集的權(quán)是1/4(3/4)?，如圖6所示。

圖6 指數(shù)平均中各個子集的權(quán)

指數(shù)平均常用于非平穩(wěn)過程的分析。因為采用這種平均方式，即可考察“最新”測量信號的基本特征，又可通過與“舊有”測量值的平均（頻域或時域）來減小測量的偏差或提高信噪比。

有關(guān)的平均技術(shù)還有許多種，如峰值保持平均技術(shù)，無重疊平均技術(shù)，重疊平均技術(shù)等，它們各有其特點和用途，如何選擇平均技術(shù)是振動測量中的一個重要手段，在實際測量中要依據(jù)所選用的數(shù)字信號分析儀功能，選用相適應(yīng)的平均技術(shù)，以提高振動測量的結(jié)果。