傅里葉變換補零到底有什么用，什么時候需要補零呢？

我們知道，快速傅里葉變換 (FFT) 是信號處理的重要數(shù)學工具。一般而言，n點信號的離散傅里葉變換 (DFT) 的變換結(jié)果（頻域）也是n個數(shù)據(jù)點。但在實際應(yīng)用中，對實際信號作FFT時，常常涉及到變換前數(shù)據(jù)需要補零 (Zero padding) 的問題。

一些論壇里，曾看到某些專業(yè)人士從信息論的角度分析認為：“Zero padding沒有增加時域信號的有效信息，因此，不會改變DFT/FFT的分辨率”。那么， 補零到底有什么用，什么時候需要補零呢？ 對于一般的工程技術(shù)人員來說，基本就是調(diào)用現(xiàn)成代碼或模塊進行計算，很少考慮這些問題。其實，了解和搞清楚這個問題，對實際應(yīng)用還是很有幫助的。接下來，我們將從以下幾個方面來簡要闡述如何補零，以及它對頻譜分析結(jié)果的影響。

什么是補零 ( Zero Padding )？

簡單來說，補零 (Zero Padding) 就是對變換前的時域或空域信號的尾部添加若干個0，以增加數(shù)據(jù)長度。如圖1所示，為含有1.00MHz和1.05MHz兩個頻率成分合成的正弦波實信號。

（a）

（b）

圖1 時域信號的補零示意圖

圖1(a)中信號長度為1000個樣點，采樣頻率為 fs =100MHz時，信號的實際時長則為10us。在其尾部添加1000個0，即數(shù)據(jù)增加到了2000個點（時長為20us），則變?yōu)閳D1(b)所示的波形。

這個過程就是通常所說的補零（ZeroPadding）。

為什么要Zero Padding？

最直接的理由就是，如果時域波形的數(shù)據(jù)樣點為2的整數(shù)冪的話，F(xiàn)FT計算將是最高效的，硬件 (FPGAs) 計算FFT，就是采用了這樣的Padding工作模式。那么，我們所關(guān)心的補零會不會影響計算輸出的頻率分辨率呢？

關(guān)于FFT頻率分辨率

這里涉及到兩種意義下的分辨率問題，一種叫“波形頻率分辨率 (Waveform frequency resolution”) 或叫視覺頻率分辨率 (Visual frequency resolution)；另一種則叫做“FFT分辨率”。雖然，這個分類和命名不一定是很專業(yè)的術(shù)語，但卻有助于對“頻率分辨率”概念的理解。在沒有補零的情況下，這兩個概念通常容易被混淆，因為它們是等價的。

波形頻率分辨率是指可以被分辨的2個頻率的最小間隔 (Spacing)；而FFT 分辨率則是頻譜中的數(shù)據(jù)點數(shù) (The number of points in the spectrum)，它是與做FFT的點數(shù)直接相關(guān)的。

因此，波形頻率分辨率可定義為：

其中，T是實際信號的時間長度。

同樣，F(xiàn)FT分辨率可以定義為：

其中，fs為采樣頻率 (the sampling frequency)，Nfft為FFT的點數(shù)。ΔRf代表了FFT頻率軸上的頻率取值的間隔 (Spacing)。

值得注意的是，可能有很好的FFT分辨率，但卻不一定能夠很好的把2個頻率成分簡單的分開。同樣，可能有很高的波形分辨率，但波形的能量峰值會通過整個頻譜而分散開（這是因為FFT的頻率泄漏現(xiàn)象）。

我們知道，信號的離散傅里葉變換 (DFT) 或快速傅里葉變換 (FFT) 是對波形的任何一邊補零形成的無限序列進行計算的。這就是，為什么FFT的每個頻率單元 (bin) 都具有明顯的sinc波的形狀。

波形頻率分辨率1/T與一個sinc函數(shù)空值間隔 (the space between nulls) 是一樣的。

例 析

下面以一個具有2種頻率成分的周期信號為例，說明Zero Padding與頻譜分辨率的關(guān)系：

其中，f1 = 1.00MHz，f2 = 1.05MHz，頻率間隔為0.05MHz。也就是說，在我們的頻譜分析曲線上能看到2個頻率點的峰，若2個正弦波的幅度為1伏 ( V)，那么我們期望在1MHz和1.05MHz的頻率點處的功率為10dBm。

分以下幾種情況進行分析：

1. 時域信號1000個點采樣，做相同樣點數(shù)的FFT。

圖2 原始信號的功率譜 (1000點 FFT)

圖2中，我們并沒有看見期望的兩個脈沖，因為圖中僅出現(xiàn)一個脈沖點，其幅度約為11.4dBm。顯然，這個圖并不是我們想要的正確的頻譜圖。原因很簡單，沒有足夠的分辨率看見兩個峰值 (Peaks)。

2. 時域信號1000個點采樣，后端補6000個零，做7000點數(shù)的FFT。

我們自然想到，采用補零方式增加FFT點數(shù)，以使頻率軸上能增加更多點數(shù)。如采用7000個點做FFT，即需要在原1000點信號尾部增加6000個零值（即60us時長），則原始信號變?yōu)閳D3(a)所示，其FFT結(jié)果如圖3(b)所示。

（a）

（b）

圖3 原始信號補零及功率譜 (7000點 FFT)

圖3中，我們也并沒有看見期望的結(jié)果。仔細觀察一下，此圖到底告訴了我們什么呢？即通過增加更多FFT點數(shù)的做法，使得波形頻率分辨率公式中的sinc函數(shù)的定義更清晰?？梢钥闯?，sinc空值 (nulls) 間隔大約是0.1MHz。

由于給出信號的兩個正弦波的頻率間隔是按0.05MHz分隔的，因此，不管我們用多少FFT點數(shù) (Zero padding)，都無法解決2個正弦波的問題。

再來看一下頻率分辨率ΔRf告訴了我們什么。盡管，F(xiàn)FT分辨率大約為14kHz（足夠的頻率分辨率），而波形頻率分辨率僅僅為100kHz。兩個信號的頻率間隔是50kHz，所以我們受限于波形頻率分辨率 ΔRw 。

3. 時域信號7000個點采樣，做7000點數(shù)的FFT。

為了合理地解決這個頻譜的問題，需要增加用于FFT的時域數(shù)據(jù)的長度（點數(shù)）。因此，我們直接采集波形的7000點作為輸入信號，取代補零 (Zero Padding) 方式到70us (7000 點) 。時間域信號及對應(yīng)的功率譜分別如圖4a-4b所示。

（a）

（b）

圖4 按7000點采集的信號及其功率譜

通過時域數(shù)據(jù)的周期延拓，現(xiàn)在的波形頻率分辨率ΔRw也近似為14KHz。但從頻譜圖中，我們還是看不見2個正弦波。1MHz信號已按正確的10dBm功率值清晰地表征，而1.05MHz 信號變寬，且未以期望的10dBm 功率分布。這是為什么呢？

原因就是1.05MHz處并沒有FFT點的分布，此處的能量被多個FFT點分散（泄露）了。

給出的例子中，采樣頻率是100MHz，F(xiàn)FT點數(shù)為7000。頻譜圖中，點與點之間的間隔是14.28kHz。1MHz頻率剛好為頻率間隔的整數(shù)陪，而1.05MHz 卻不是。距1.05MHz最近的整數(shù)倍頻率為1.043MHz和1.057MHz，因此，能量被這2個FFT單元所分散。

4. 時域信號7000個點采樣，后端補1000個零，做8000點數(shù)的FFT。

為了解決這個問題，我們可以合理選擇FFT的點數(shù)，以便這兩個點能在頻率軸上成為獨立分開的點。由于，我們并不需要更好的波形頻率分辨率，僅采用時域數(shù)據(jù)的零填充方式來調(diào)整FFT數(shù)據(jù)點的頻率間隔。

給時域信號增加1000零值 (10us)，使得頻率間隔為12.5kHz，這樣，滿足了1 MHz and 1.05MHz兩個頻率都是這個間隔的整數(shù)倍。此時，給出的功率譜如圖5所示?？梢钥闯?，兩個頻率問題得到解決，而且功率均在期望的10dBm。

圖5 補零至8000點信號的功率譜

為了進一步觀察過度補零的現(xiàn)象，通過時域補更多的零值 (10000點) 來完成更多點數(shù)的FFT（確保具有正確的波形頻率分辨率 ΔRw ），我們就可以清晰地看到FFT單元 (bins) 的sinc波形狀，如圖6所示。

圖6 補零至107000點信號的功率譜