FFT原理通俗易懂的解釋

FFT原理通俗易懂的解釋

傅里葉變換（Fourier Transform，簡稱FFT）是一個廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具，它可以將一個連續(xù)或離散信號分解成一系列單一的正弦函數(shù)，這些正弦函數(shù)名稱為頻率成分或頻譜。應(yīng)用FFT技術(shù)可以在音頻、圖像和信號處理等領(lǐng)域得到廣泛運(yùn)用，它能夠幫助工程師和科學(xué)家對信號進(jìn)行分析和處理，從而更好地理解和控制數(shù)據(jù)。

所以，什么是傅里葉變換呢？它是一個數(shù)學(xué)公式，將一個復(fù)雜的信號轉(zhuǎn)換為一系列正弦和余弦波的線性組合，形成頻域上的頻率譜圖。換句話說，傅里葉變換之后，我們能夠看到信號中所有可能的頻率成分或者說是各個頻率變化對信號的貢獻(xiàn)。這個過程就被稱為頻域分析或頻譜分析。

相信你在學(xué)習(xí)傅里葉變換的時候會發(fā)現(xiàn)它分為離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）兩種。兩者都可以將信號分解為各個頻率成分，它們的不同之處在于計(jì)算復(fù)雜度和計(jì)算速度。

DFT是一種基礎(chǔ)的傅里葉變換，他在計(jì)算頻譜時需要進(jìn)行N^2次運(yùn)算，也就是說，它的時間復(fù)雜度是平方級別的。這種計(jì)算方式對于較小的信號算法足以勝任，但對于大型復(fù)雜的信號進(jìn)行計(jì)算則體驗(yàn)不佳。

為了解決這個問題，快速傅里葉變換（FFT）被發(fā)明出來，它是利用數(shù)學(xué)技巧和算法的改進(jìn)來簡化DFT計(jì)算。其時間復(fù)雜度可以降到O(NlogN)的級別，這項(xiàng)技術(shù)的主要優(yōu)點(diǎn)在于它可以在多個計(jì)算平臺上運(yùn)行，包括腳本語言、高級語言、甚至是硬件加速器。因此，它成為信號處理領(lǐng)域的最佳選擇。

那么，F(xiàn)FT是如何工作的呢？首先，它將輸入的信號轉(zhuǎn)換為離散復(fù)數(shù)值。也就是通過采樣將連續(xù)信號轉(zhuǎn)化為離散信號，然后進(jìn)行頻率變換。實(shí)質(zhì)上，F(xiàn)FT所做的便是從時域上轉(zhuǎn)化為頻域上。

其次，F(xiàn)FT進(jìn)行信號頻率分解的原理是正弦余弦基函數(shù)，也稱為正交函數(shù)。由于正弦余弦函數(shù)是一種周期函數(shù)，具有周期為2π/f的特性，因此在頻率分解方面具有很好的適用性。通過將信號分割成均勻的 “間隔” 、在輸入點(diǎn)上對離散數(shù)據(jù)進(jìn)行“放大、平移、縮放”的處理，然后計(jì)算離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的傅里葉變換，從而得到離散信號頻率譜。

最后，通過轉(zhuǎn)化得到的頻率譜圖可以進(jìn)行進(jìn)一步的數(shù)字信號處理。

總的來說，F(xiàn)FT是一種非常有用的數(shù)學(xué)工具，它可以將信號中的所有可能頻率分量展現(xiàn)出來，進(jìn)而方便我們進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、信號分析等工作。FFT的發(fā)明和應(yīng)用可以極大地幫助人們更深入地理解信號，同時也為科學(xué)和工程領(lǐng)域提供了更廣闊的應(yīng)用前景。