信號(hào)完整性-傳輸線的模型簡(jiǎn)析

13.1 傳輸線的一階模型

理想傳輸線是一種新的理想電路元件，它有兩個(gè)重要的特征：恒定的瞬時(shí)阻抗和相應(yīng)的時(shí)延。這個(gè)理想模型是連續(xù)分布式模型，因?yàn)槔硐雮鬏斁€的各個(gè)特性分布在整條傳輸線上，而不是集中在一個(gè)集總點(diǎn)上。

從物理上講，可控阻抗傳輸線是由兩條一定長(zhǎng)度且橫截面均勻的導(dǎo)線組成的。前面介紹了零階模型，它把傳輸線描述成一系列相互有一定間距的電容器的集合。然而這僅是物理模型，并不是等效電氣模型。

把信號(hào)路徑和返回路徑導(dǎo)線的每一小節(jié)描述成回路電感，就能進(jìn)一步近似物理傳輸線。如下圖所示，這個(gè)最簡(jiǎn)單的傳輸線等效電路模型中，每?jī)蓚€(gè)小電容器就被一個(gè)小回路電感器隔開。圖中C表示兩條導(dǎo)線之間的電容，L表示兩小節(jié)之間的回路電感。

每一節(jié)信號(hào)路徑或返回路徑都有各自的局部自感。在兩個(gè)分立電容器之間的兩節(jié)信號(hào)路徑-返回路徑之間又存在局部互感。對(duì)于非平衡傳輸線，如微帶線，每一節(jié)中信號(hào)路徑的局部自感與返回路徑的局部自感是不同的，其中信號(hào)路徑的局部自感要比返回路徑的局部自感大10倍以上。

但是對(duì)信號(hào)而言，當(dāng)它在傳輸線上傳播時(shí)，實(shí)際傳播的是從信號(hào)路徑到返回路徑的電流回路。從這種意義上講，所有信號(hào)電流流經(jīng)的一個(gè)回路電感，由信號(hào)路徑節(jié)和返回路徑節(jié)構(gòu)成。對(duì)于傳輸線上的信號(hào)傳播和大多數(shù)串?dāng)_而言，信號(hào)路徑和返回路徑的局部電感并不怎么重要，只有回路電感才是重要的。當(dāng)把理想的分布傳輸線近似為一系列的LC電路時(shí)，模型中表示的電感實(shí)際上就是回路電感。

由C和L組成的傳輸線一階等效電路模型是理想傳輸線的近似。在極端的情況下，若電容器和電感器的尺寸逐漸減小而節(jié)數(shù)逐漸增多，近似程度就會(huì)更好。

在極端情況下，當(dāng)電容器和電感器無窮小，而LC電路的節(jié)數(shù)趨于無窮時(shí)，單位長(zhǎng)度電容C_L和單位長(zhǎng)度電感L_L都為常數(shù)。這兩個(gè)參數(shù)通常稱為傳輸線的線參數(shù)。

信號(hào)沿網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)，在每節(jié)點(diǎn)上都受到恒定的瞬時(shí)阻抗。這個(gè)瞬時(shí)阻抗與理想分布傳輸線元件的瞬時(shí)阻抗是一樣的，它在數(shù)值上與導(dǎo)線的特性阻抗相等。同理，從信號(hào)進(jìn)入LC網(wǎng)絡(luò)到信號(hào)輸出會(huì)有一個(gè)有限的時(shí)延。

根據(jù)傳輸線的線參數(shù)和總長(zhǎng)度，可以計(jì)算出傳輸線的特性阻抗和時(shí)延，即：

因?yàn)樾盘?hào)的速度取決于材料的介電常數(shù)、單位長(zhǎng)度電容和單位長(zhǎng)度電感，所以可將單位長(zhǎng)度電容與單位長(zhǎng)度電感關(guān)聯(lián)如下：

從特性阻抗和速度的關(guān)系，可以得出下列關(guān)系式：

從傳輸線的時(shí)延和特性阻抗，可以得出下列關(guān)系式：

其中，Z_0表示特性阻抗(單位為Ω)，L_L表示傳輸線的單位長(zhǎng)度回路電感(單位為nH/in)，C_L表示傳輸線的單位長(zhǎng)度電容(單位為pF/in)，T_D表示傳輸線的時(shí)延(單位為ns)，L_total表示傳輸線的總回路電感(單位為nH)，C_total表示傳輸線的總電容(單位為pF)，v表示傳輸線中的信號(hào)速度(單位為in/ns)。

所有介電常數(shù)為4的50Ω?jìng)鬏斁€，其單位長(zhǎng)度電容都相同，約為3.3 pF/in。單位長(zhǎng)度回路電感也都相同，約為8.3nH/in。

當(dāng)信號(hào)邊沿快速傳播時(shí)，它既沒看到電容C和實(shí)現(xiàn)充電所需的時(shí)間常數(shù)RC，也沒看到電感L和導(dǎo)致上升邊變慢的時(shí)間常數(shù)L/R。相反，它看到了一種嶄新的優(yōu)異特質(zhì)，即可以支持傳輸任何上升邊信號(hào)的瞬時(shí)阻抗。對(duì)邊沿信號(hào)而言，傳輸線看上去既不像電感，也不像電容，它像一個(gè)電阻性元件。

13.2 特性阻抗的近似計(jì)算

設(shè)計(jì)一個(gè)指定的特性阻抗，實(shí)際上就是不斷調(diào)整線寬、介質(zhì)厚度和介電常數(shù)的過程。如果知道傳輸線的長(zhǎng)度和導(dǎo)線周圍材料的介電常數(shù)，計(jì)算出特性阻抗并運(yùn)用上面的關(guān)系式，就可以計(jì)算出其他所有參數(shù)。

經(jīng)驗(yàn)法則 ：FR4板上50Ω微帶線的線寬等于介質(zhì)厚度的2倍。而50Ω帶狀線的兩平面之間的總介質(zhì)厚度等于線寬的2倍。

對(duì)于微帶線，推薦的通用近似式為：

對(duì)于帶狀線，推薦的通用近似式為：

其中，Z_0表示特性阻抗(單位為Ω)，h表示信號(hào)線與平面之間的介質(zhì)厚度(單位為mil)，w表示線寬(單位為mil)，b表示平面之間的距離(單位為mil)，t表示金屬厚度(單位為mil)，ε_(tái)r表示介電常數(shù)。

在一階模型中，微帶線和帶狀線的特性阻抗與介質(zhì)厚度和線寬的比值成比例變化。只要這個(gè)比值保持不變，特性阻抗就恒定不變。

13.3 n節(jié)集總電路模型

根據(jù)理想傳輸線的時(shí)延，可以估算出n節(jié)集總電路模型的帶寬。LC模型的節(jié)數(shù)越多，帶寬就越高。一節(jié)模型的帶寬只有第一個(gè)諧振頻率的1/4，兩節(jié)模型的帶寬為第一個(gè)諧振頻率的1/2，16節(jié)模型的帶寬為第4個(gè)諧振頻率。我們可以歸納出吻合的最高頻率，即模型的帶寬為：

其中，BW_model表示n節(jié)集總電路模型的帶寬，n表示模型中LC的節(jié)數(shù)，T_D表示傳輸線的時(shí)延，f_0表示全波的諧振頻率， f_0=1/T_D 。

要使模型的帶寬達(dá)到1/T_D，需要10節(jié)LC電路。也就是說，因?yàn)檫@個(gè)頻率相當(dāng)于傳輸線上僅有一個(gè)全波，為了更好地近似，每1/10個(gè)信號(hào)波長(zhǎng)就必須對(duì)應(yīng)1節(jié)LC電路。

例如，如果互連的時(shí)延T_D=1ns，要求n節(jié)LC近似模型的帶寬為5GHz，則至少需要**n=10×5GHz×1ns=50**節(jié)。在最高頻率時(shí)，傳輸線上有**5GHz×1ns=5**個(gè)波長(zhǎng)。每個(gè)波長(zhǎng)需要10節(jié)，因此要獲得較好的近似效果，需要**5×10=50**節(jié)LC電路。

我們也可以估算出用單個(gè)LC電路近似傳輸線時(shí)的帶寬有多高?；蛘哒f，在多高的頻率范圍內(nèi)，傳輸線可以近似成單個(gè)LC電路。單個(gè)LC電路的帶寬為：

傳輸線的時(shí)延越長(zhǎng)，可以用單個(gè)LC模型近似的頻率就越低。

如果信號(hào)的上升邊為RT，則信號(hào)的帶寬(最高有效正弦波頻率成分)為：

如果傳輸線的時(shí)延為T_D，并用n節(jié)集總電路模型來近似，那么必須確保模型的帶寬BW_model應(yīng)至少大于信號(hào)帶寬BW_sig，即：

即：

即：

其中，BW_sig表示信號(hào)的帶寬，BW_model表示模型的帶寬，RT表示信號(hào)的上升邊，T_D表示傳輸線的時(shí)延，n表示準(zhǔn)確模型所需LC電路的最少節(jié)數(shù)。

如果上升邊等于傳輸線的時(shí)延，則此傳輸線的準(zhǔn)確模型至少需要3.5節(jié)LC電路。在這種情況下，上升邊的空間延伸就等于傳輸線的長(zhǎng)度。

經(jīng)驗(yàn)法則 ：當(dāng)給定上升邊RT(單位為ns)值時(shí)，n節(jié)LC集總電路模型為了達(dá)到足夠高的帶寬，每節(jié)LC電路對(duì)應(yīng)的線長(zhǎng)(單位為in)值必須小于1.7×RT。

當(dāng)然，無論是在低頻還是在高頻，理想分布傳輸線模型總是均勻互連的更好模型。

本節(jié)評(píng)估了依據(jù)信號(hào)帶寬及其精確度，在對(duì)實(shí)際傳輸線建模時(shí)所需LC電路的最少節(jié)數(shù)。但這仍是帶寬受限下的一種近似做法。在為實(shí)際傳輸線選配模型時(shí)，可以根據(jù)對(duì)特性阻抗和時(shí)延的要求，先定義一個(gè)理想傳輸線作為首選。在非常罕見的情況下，當(dāng)問題也是用L或C值表征的時(shí)候，就可以采用上述的n節(jié)集總參數(shù)模型來模擬真實(shí)的傳輸線。但是，還是從一個(gè)理想傳輸線模型先建模。

13.4 特性阻抗隨頻率的變化

到目前為止都假設(shè)傳輸線的特性阻抗與頻率無關(guān)。但是，我們已經(jīng)知道，從傳輸線前端看進(jìn)去的輸入阻抗與頻率有密切的關(guān)系。畢竟，在低頻情況下，遠(yuǎn)端開路傳輸線的輸入阻抗看上去像一個(gè)電容器，起初阻抗較高，再下降到很低。

假設(shè)隨著頻率的變化，互連的介電常數(shù)是個(gè)常數(shù)，那么單位長(zhǎng)度電容也恒定不變。雖然在某些情況下，介電常數(shù)會(huì)有微小的變化，但對(duì)大多數(shù)材料而言這個(gè)假設(shè)是合理的。

由于趨膚效應(yīng)的影響，單位長(zhǎng)度電感會(huì)隨頻率而變化。實(shí)際上，在低頻時(shí)回路電感比較高，但是隨著越來越多的電流分布在外表面，回路電感將下降。這說明，在低頻時(shí)特性阻抗比較高，隨著頻率的升高，特性阻抗將下降到某一恒定值。

使用二維場(chǎng)求解器，可以計(jì)算出1盎司銅制成的50Ω微帶線的特性阻抗與頻率的關(guān)系，在低頻時(shí)特性阻抗比較高，約在1MHz開始下降，且直到50MHz以前都一直在下降。從直流到高頻，特性阻抗的總下降量約為7Ω，即變化小于15%。

約50 MHz以上時(shí)，傳輸線的特性阻抗是個(gè)常數(shù)，不再隨頻率變化。這個(gè)值就是通常用于估計(jì)各種高速信號(hào)性能的“高頻”特性阻抗。