分?jǐn)?shù)槽繞組磁勢(shì)的特點(diǎn)

前面講了整數(shù)槽繞組的磁勢(shì)，本期繼續(xù)講分?jǐn)?shù)槽繞組的磁勢(shì)。

1. 分?jǐn)?shù)槽繞組磁勢(shì)的特點(diǎn)

在介紹分?jǐn)?shù)槽繞組磁勢(shì)之前，我們先復(fù)習(xí)一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

①關(guān)于傅立葉分解。根據(jù)傅立葉極數(shù)有關(guān)知識(shí)，一個(gè)滿足一定條件的周期函數(shù)可以分解為一個(gè)常數(shù)項(xiàng)和一系列不同周期(頻率)的三角函數(shù)(正弦、余弦函數(shù))項(xiàng)之和，其中周期最長(頻率最低)的三角函數(shù)項(xiàng)的周期與被分解的函數(shù)周期相等，數(shù)學(xué)上常把這個(gè)周期最長(頻率最低)的三角函數(shù)項(xiàng)稱為基波；其余三角函數(shù)項(xiàng)的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍，稱其為諧波。諧波頻率與基波頻率之比稱為諧波的次數(shù)，例如：諧波頻率與基波頻率之比為2的諧波稱為二次諧波；諧波頻率與基波頻率之比為3的諧波稱為三次諧波…。按照上述定義，諧波的次數(shù)均為整數(shù)。但是，在許多應(yīng)用場合下，為了分析方便，而不將最低頻率項(xiàng)作為基波，而是將需要重點(diǎn)分析的頻率項(xiàng)作為基波，其余各項(xiàng)都作為諧波，這樣就會(huì)出現(xiàn)低于基波頻率的項(xiàng)，我們稱之為次諧波，而且還會(huì)出現(xiàn)諧波的次數(shù)不是整數(shù)的情況，即出現(xiàn)分?jǐn)?shù)次諧波。實(shí)際應(yīng)用中，用哪一個(gè)頻率作為基波頻率，取決于分析時(shí)關(guān)注的重點(diǎn)和分析的簡便性。由于電機(jī)主要依靠極對(duì)數(shù)為p的磁場實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換，因此將極對(duì)數(shù)為p的磁場波稱為工作波或稱主波，主波的波長為2τ。在分析電機(jī)的電磁性能時(shí)，常用主波作為基波，分析起來比較方便；而在分析振動(dòng)噪聲時(shí)，常用一對(duì)極作為基波；在分析分?jǐn)?shù)槽繞組的磁勢(shì)時(shí)，還常用一個(gè)單元電機(jī)的弧長作為基波的周期。這樣諧波的次數(shù)就不會(huì)出現(xiàn)次諧波和分?jǐn)?shù)次諧波，使得計(jì)算更加簡便。

②關(guān)于諧波次數(shù)問題。我們?cè)诘谝蝗黄凇峨姍C(jī)繞組(8)》中講到，如果周期函數(shù)滿足f(x)=-f(x+T/2)，即稱之為奇諧函數(shù)，奇諧函數(shù)做傅立葉分解時(shí)，只含有奇次諧波，而無偶次諧波；如果周期函數(shù)滿足f(x)=f(x+T/2)，則稱之為偶諧函數(shù)，偶諧函數(shù)做傅立葉分解時(shí)，只含有偶次諧波，而無奇次諧波；如果周期函數(shù)不滿足以上兩種情況，則這種函數(shù)即不是奇諧函數(shù)，也不是偶諧函數(shù)，其做傅立葉分解時(shí)，就即含有奇次諧波，又含有偶次諧波。

了解了上述數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，接下來我們就分析整數(shù)槽繞組與分?jǐn)?shù)槽繞組磁勢(shì)的特點(diǎn)。

對(duì)于整數(shù)槽繞組，每極每相槽數(shù)q=整數(shù)，每對(duì)極下各相載流導(dǎo)體的安導(dǎo)波分布情況都是重復(fù)的，因而每對(duì)極下多相合成磁勢(shì)的波形也是重復(fù)的，且N極與S極下的磁勢(shì)大小相等、方向相反。也就是說，整數(shù)槽繞組的磁勢(shì)，在空間分布上是一個(gè)以2τ為波長(周期)，極對(duì)數(shù)(頻率)為p的奇諧函數(shù)，將這樣一個(gè)周期函數(shù)作傅立葉分解，得到的最小頻率為p，如果將其定義為基波，即基波磁勢(shì)的波長為2τ，其他各項(xiàng)為諧波，則各諧波的次數(shù)均為整數(shù)，且諧波的次數(shù)僅存在奇次的高次諧波，而無偶次諧波。另外對(duì)于三相對(duì)稱繞組，其磁勢(shì)中也不包括三及三的整數(shù)次諧波。

對(duì)于分?jǐn)?shù)槽繞組，每極每相槽數(shù)q=b+c/d=N/d，為一不可約的分?jǐn)?shù)，其中：N=b?d+c，稱其為分?jǐn)?shù)槽繞組的每極每相等效槽數(shù)，N與d不可約。這就意味著每個(gè)極下分配給每相的槽數(shù)不是整數(shù)，而是d個(gè)極下每相才能得到整數(shù)N個(gè)槽，因此各個(gè)相帶內(nèi)的極相組有大有小，相鄰兩對(duì)極下的安導(dǎo)波分布不相重復(fù)，只有經(jīng)過一個(gè)單元電機(jī)后，安導(dǎo)波分布才重復(fù)一次，這就意味著分?jǐn)?shù)槽繞組的磁勢(shì)是以一個(gè)單元電機(jī)的弧長為波長的周期函數(shù)，因此分?jǐn)?shù)槽繞組的磁勢(shì)作傅立葉分解后，波長最大的一項(xiàng)其周期(波長)為一個(gè)單元電機(jī)的弧長，即最低頻率為單元電機(jī)的個(gè)數(shù)t，如果將其作為基波，其他項(xiàng)作為諧波，則諧波的次數(shù)就全部為整數(shù)，但此時(shí)基波的頻率并不是主波的極對(duì)數(shù)p，而是t，在這種定義下，主波變成了p/t次諧波；如果將主波作為基波，其他各項(xiàng)作為諧波，則諧波的次數(shù)就會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)次諧波和次數(shù)小于1的次諧波，而且諧波的次數(shù)還與q的分母d是偶數(shù)還是奇數(shù)有關(guān)。由此可見，與整數(shù)槽繞組相比，分?jǐn)?shù)槽繞組的磁勢(shì)具有一系列的獨(dú)有的特點(diǎn)，其諧波含量要豐富得多，分析起來也更加復(fù)雜得多。下面先按照d是偶數(shù)還是奇數(shù)，分兩種情況說明分?jǐn)?shù)槽繞組磁勢(shì)的諧波次數(shù)，然后再分析其幅值。

2. d為偶數(shù)時(shí)磁勢(shì)的諧波次數(shù)

若d為偶數(shù)，則每 d 個(gè)極就組成一個(gè)單元電機(jī)，所以每經(jīng)過d個(gè)極，安導(dǎo)波及其所產(chǎn)生的磁勢(shì)波的波形將重復(fù)一次。將磁勢(shì)波進(jìn)行傅立葉分解，若以單元電機(jī)在定子內(nèi)圓所占弧長 d?τ作為基波波長，則磁勢(shì)的諧波次數(shù) n′ 應(yīng)為：

n′=1,2,3,4,5,6,… (1) 由于在一個(gè)周期d?τ范圍內(nèi)，前半個(gè)周期(d/2)?τ內(nèi)的安導(dǎo)波分布與后半個(gè)周期(d/2)?τ內(nèi)的安導(dǎo)波分布即不滿足奇諧函數(shù)的條件，也不滿足偶諧函數(shù)的條件，也就是說，當(dāng)d為偶數(shù)時(shí)，安導(dǎo)波即不是奇諧函數(shù)也不是偶諧函數(shù)，相應(yīng)產(chǎn)生的磁勢(shì)同樣即不是奇諧函數(shù)也不是偶諧函數(shù)，因此磁勢(shì)的諧波中既有奇次諧波又有偶次諧波，但諧波次數(shù) n′ 均為整數(shù)。由于主波波長為2τ，所以此時(shí)主波將成為d/2次諧波。

若改以主波作為基波，則其他各次諧波的次數(shù)υ就成為：

υ=n′/(d/2)=(2/d)?(1,2,3,4,5,6,…) (2) 此時(shí)υ既可能是整數(shù)，也可能是分?jǐn)?shù)；既可能大于1，也可能小于1。換言之，用主波作為基波時(shí)，分?jǐn)?shù)槽繞組的磁勢(shì)中既可能有高次諧波，也可能有低次和分?jǐn)?shù)次諧波，次數(shù)低于主波(υ<1)的低次諧波，通常被稱為次諧波。

以一臺(tái) Z1 =540槽、2p=48、 q=3+3/4的三相水輪發(fā)電機(jī)的定子繞組為例，該繞組的d=4。由于Z1與p之間具有最大公約數(shù)12，所以整個(gè)電機(jī)可以分成12個(gè)單元電機(jī)(即t=12)，每個(gè)單元內(nèi)有4極、45槽。圖1所示為定子 A 相電流達(dá)到最大值時(shí)，一個(gè)單元電機(jī)內(nèi)三相合成磁勢(shì)的分布。

從圖1可知，每隔四個(gè)極,合成磁勢(shì)的分布波形將重復(fù)一次,故以4τ作為基波波長進(jìn)行諧波分析時(shí)，諧波次數(shù) n 應(yīng)為：

n′ =1,2,3,4,5,6,…

此時(shí)所有的諧波次數(shù)均為整數(shù)；對(duì)于波長為2τ的主波，此時(shí)將是二次諧波。

若以2τ作為基波波長，則主波成為基波，其他諧波的次數(shù) υ 將成為：

υ=n′/(d/2)=(1/2)?(1,2,3,4,5,6,…)

=1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3，…

此時(shí)將出現(xiàn) υ 為1/2、3/2等分?jǐn)?shù)次諧波。

以上是一般情況。若繞組為三相對(duì)稱，定子電流也是三相對(duì)稱，則合成磁勢(shì)中也不存在n′=3以及3的整數(shù)倍的諧波。若規(guī)定主波的轉(zhuǎn)向正，則與主波相鄰的其他諧波的轉(zhuǎn)向?yàn)檎?、反相間，于是就有：

n′=-1, +2, -4, +5,…

或：

υ=-1/2, +1, -2,+5/2, …

其中：n′=+2或υ=+1的諧波為主波；“+”表示該次諧波與主波轉(zhuǎn)向相同；“-”表示該次諧波與主波轉(zhuǎn)向相反。

3. d為奇數(shù)時(shí)磁勢(shì)的諧波次數(shù)

若 d =奇數(shù)，則每一單元電機(jī)內(nèi)有2d個(gè)極，其中后面 d 個(gè)極下的安導(dǎo)波和磁勢(shì)波，應(yīng)與前面 d 個(gè)極下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的安導(dǎo)波和磁勢(shì)波大小相等、方向相反，也就是說，d為奇數(shù)的分?jǐn)?shù)槽繞組，其安導(dǎo)波和磁勢(shì)波均為奇諧函數(shù)。因此，用單元電機(jī)弧長2d?τ 作為基波波長來進(jìn)行諧波分析時(shí)，磁勢(shì)波形中將僅含有奇次諧波，即：

n′=1,3,5,7,… (3) 此時(shí)主波的次數(shù)為d 。

若改以主波為基波，則諧波的次數(shù) υ 將成為：

υ=n′/d=(1/d)?(1,3,5,7,…) (4) 同理，三相對(duì)稱運(yùn)行時(shí)，不存在 n′=3及其倍數(shù)次的諧波。諧波磁勢(shì)的轉(zhuǎn)向，與 d =偶數(shù)時(shí)同樣確定。

以一臺(tái) Z1 =456、2p=56、q =2+5/7的三相水輪發(fā)電機(jī)的定子繞組為例，該繞組的 d =7(奇數(shù))。由于 Z1 與 p 之間具有最大公約數(shù)4，故整個(gè)電機(jī)可分為4個(gè)單元電機(jī)(即 t =4)，每個(gè)單元電機(jī)有14個(gè)極，114槽。圖2表示 A 相電流達(dá)到最大值時(shí)，一個(gè)單元內(nèi)的三相合成磁勢(shì)。

由圖2可見，后面7個(gè)極的磁勢(shì)波形與前面7個(gè)極的磁勢(shì)波形恰好反向，此時(shí)若以14τ作為基波波長來進(jìn)行諧波分析，合成磁勢(shì)中將僅含有整數(shù)次的奇次諧波，即：

n′=+1,-5,+7,-11,+13,…

其中+7次諧波為主波。

若以主波作為基波，則諧波次數(shù) υ 應(yīng)為：

υ=n′/7=+1/7,-5/7,+1,-11/7,+13/7,…

即諧波次數(shù)將出現(xiàn)分?jǐn)?shù)次。各次數(shù)前面的正負(fù)號(hào)所代表的意義同上。

4 用二極波作為基波時(shí)的諧波次數(shù)

通常情況下，都是把電機(jī)中的主波作為基波，即以2τ作為基波波長，這樣做對(duì)于研究整數(shù)槽繞組和發(fā)電機(jī)的電勢(shì)波形問題都非常方便。對(duì)于分?jǐn)?shù)槽繞組，為避免把磁勢(shì)的諧波次數(shù)寫成分?jǐn)?shù)形式，常以單元電機(jī)的弧長作為基波波長，此時(shí)主波成為 d(或d/2)次諧波。

除了這兩種方式以外，諧波次數(shù)還有第三種表達(dá)方式。在分析振動(dòng)和噪音問題時(shí)，常以整個(gè)電機(jī)的周長 πD 作為基波的波長，即以二極波作為基波。由于 πD=p?2τ，故采用此種方式表達(dá)時(shí)，主波就成為p次諧波。以六極電機(jī)(p=3)為例，電機(jī)中的主波為六極波。若以六極波作為基波，則主波即為基波(即υ=1)；若以二極波作為基波，則主波成為三次諧波(即 n=3)。圖3用圖形表示了用主波或二極波表示時(shí)，諧波次數(shù)υ和n之間的關(guān)系。

不難看出，用二極波表示時(shí)，諧波次數(shù) n 應(yīng)為：

n=p?υ (5) 上述三種方式表達(dá)時(shí)，雙層分?jǐn)?shù)槽繞組的諧波次數(shù)見表1。

5 不同文獻(xiàn)中分?jǐn)?shù)槽繞組磁勢(shì)諧波次數(shù)的計(jì)算公式

關(guān)于分?jǐn)?shù)槽繞組磁勢(shì)諧波次數(shù)的描述和計(jì)算，在不同的文獻(xiàn)中有不同的分析方法和計(jì)算公式，上述介紹的計(jì)算方法與1983年水利電力出版社出版，由湯蘊(yùn)璆、史乃、沈文豹所編的《電機(jī)理論與運(yùn)行》中所述是一致的。為了便于同學(xué)們閱讀和理解不同文獻(xiàn)中關(guān)于分?jǐn)?shù)槽繞組磁勢(shì)諧波的相關(guān)內(nèi)容，現(xiàn)將收集到的各種文獻(xiàn)中關(guān)于分?jǐn)?shù)槽繞組磁勢(shì)諧波的計(jì)算公式列于表2，并以實(shí)例對(duì)各文獻(xiàn)中公式的正確性予以驗(yàn)證。

【注】表中文獻(xiàn)：許實(shí)章《交流電機(jī)繞組理論》；黃國治《Y2系列技術(shù)手冊(cè)》；陳世坤《電機(jī)設(shè)計(jì)》第2版；李發(fā)海等《電機(jī)學(xué)》第2版；黃士鵬、陳世元《交流電機(jī)繞組理論》；許善椿、金波交流電機(jī)定子分?jǐn)?shù)槽繞組的諧波磁勢(shì)問題[J].大電機(jī)技術(shù),1999,000 (003 ):1-5.。

通過分析和驗(yàn)證，也發(fā)現(xiàn)某些文獻(xiàn)中的分析和描述存在一些錯(cuò)誤，例如：陳世坤《電機(jī)設(shè)計(jì)》p201，就存在錯(cuò)誤，分單雙層繞組進(jìn)行討論，其實(shí)分?jǐn)?shù)槽繞組的諧波次數(shù)與繞組的單、雙層是沒有關(guān)系的，而是跟q的分母是奇數(shù)還是偶數(shù)有關(guān)；此外黃士鵬、陳世元的《交流電機(jī)繞組理論》，里面對(duì)于分?jǐn)?shù)槽的諧波極對(duì)數(shù)分析，其實(shí)僅對(duì)單元電機(jī)是正確的，對(duì)于非單元電機(jī)顯然還要乘以單元電機(jī)數(shù)t。

小結(jié)：各種文獻(xiàn)中雖然分析方法和計(jì)算公式不同，某些描述甚至存在一些小錯(cuò)誤，但經(jīng)過必要的修正后，基本上均是正確和一致的。其中許實(shí)章與黃國治兩位教授所著文獻(xiàn)中的公式基本相同，且與李發(fā)海等教授的文獻(xiàn)描述本質(zhì)上是相同的；而其余三個(gè)文獻(xiàn)本質(zhì)上也是相同的。

6. 定子磁動(dòng)勢(shì)的幅值

與整數(shù)槽繞組相似，以主波作為基波時(shí)，分?jǐn)?shù)槽繞組的三相基波合成磁動(dòng)勢(shì)的幅值 F1 (安匝/極)應(yīng)為：

F1=1.35?I?(Kdp1?W1)/p (6) 類似地，三相諧波合成磁動(dòng)勢(shì)的幅值 Fυ為：

Fυ=(1/υ)?1.35?I?(Kdpυ?W1)/p (7) 式中：W1為定子每相串聯(lián)匝數(shù)；Kdp1為基波的繞組系數(shù)；Kdpυ 為 υ 次諧波的繞組系數(shù)。

與整數(shù)槽繞組相同，分?jǐn)?shù)槽繞組的繞組系數(shù)也等于短距系數(shù)與分布系數(shù)的乘積，即Kdpυ=Kdυ?Kpυ，對(duì)于短距系數(shù)Kpυ，分?jǐn)?shù)槽繞組與整數(shù)槽繞組的短距系數(shù)計(jì)算公式相同，即：Kpυ=sin[υ(Y1/τ)90o]；而對(duì)于分布系數(shù)Kdυ，分?jǐn)?shù)槽繞組的計(jì)算要比整數(shù)槽繞組復(fù)雜得多，對(duì)此，湯蘊(yùn)璆教授早在1973年第3期的《大電機(jī)技術(shù)》上發(fā)表過一篇文章《分?jǐn)?shù)槽繞組的分布系數(shù)》，在這篇文獻(xiàn)中有詳細(xì)的推導(dǎo)過程。這里推導(dǎo)過程略去，只講一下分?jǐn)?shù)槽繞組分布系數(shù)的最終計(jì)算公式。

對(duì)于60相帶、具有“最大分布因數(shù)”的三相分?jǐn)?shù)槽繞組，其各次磁勢(shì)諧波(包括基波υ=1)的分布系數(shù)為：

Kdυ=sin(N?αυ/2)/[N?sin(αυ/2)] (8) 式中：N為每極每相的等效槽數(shù)，N=b?d+c；角度αυ分兩種情況：

①當(dāng) d =偶數(shù)時(shí)：

αυ=D?d?αm?υ+180o(9) ②當(dāng) d =奇數(shù)時(shí)，又分兩種情況：

P為偶數(shù)時(shí)：

αυ=D?d?αm?υ(10) P為奇數(shù)時(shí)：

αυ=D?d?αm?υ+180o (11)

其中：αm=60o/N；D=(3N?P+1)/d；P為使D成為整數(shù)的最小整數(shù)。式⑻對(duì)任何次數(shù)(高次或低次、整數(shù)或分?jǐn)?shù)次)的諧波都適用。

由以上各式可知，分?jǐn)?shù)槽繞組的分布系數(shù)Kdυ除與諧波次數(shù)υ 有關(guān)外，還與每極每相槽數(shù)q 中的分母 d 以及 P 值的奇偶性有關(guān)。經(jīng)過進(jìn)一步推導(dǎo)，若僅考慮數(shù)值而不考慮正、負(fù)號(hào)時(shí)，式⑻可簡化為：

d=偶數(shù)時(shí)：

Kdυ=1/[2N?cos(D?n′?60o/N)] (12)

d=奇數(shù)且P=偶數(shù)時(shí)：

Kdυ=1/[2N?sin(D?n′?30o/N)] (13)

d=奇數(shù)且P=奇數(shù)時(shí)：

Kdυ=1/[2N?cos(D?n′?30o/N)] (14)

式中，n′為與υ相對(duì)應(yīng)的諧波次數(shù)，見式⑵和式⑷：當(dāng)d=偶數(shù)時(shí)，n′=υ?d/2；當(dāng)d=奇數(shù)時(shí)，n′=υ?d 。

本期介紹了分?jǐn)?shù)槽繞組的磁勢(shì)，與整數(shù)槽繞組相比，分?jǐn)?shù)槽繞組的磁勢(shì)諧波更加豐富，除了有高次諧波外，還含有次數(shù)低于主波的次諧波和分?jǐn)?shù)次諧波，在某些情況下，定子磁勢(shì)的次諧波與主極磁場相互作用，可使凸極同步電機(jī)的定子鐵心產(chǎn)生顯著的振動(dòng)，在繞組設(shè)計(jì)時(shí)必須引起高度重視。

審核編輯：湯梓紅