基于BP算法的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
首先給出只包含一個隱層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）：
BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)其實(shí)由兩部分組成：
- 前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是前饋的，其權(quán)重都不回送到輸入單元，或前一層輸出單元（數(shù)據(jù)信息是單向傳播的，不會回流），區(qū)別于循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RNN。
- BP算法（Back Propagation）：誤差反向傳播算法，用于更新網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)重。
BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)思想：
- 表面上：1. 數(shù)據(jù)信息的前向傳播，從輸入層到隱含層，最后到輸出層。2. 誤差的反向傳播：輸出結(jié)果與真實(shí)結(jié)果的誤差值，從輸出層傳遞到隱含層，最后到輸入層。
- 本質(zhì)上：針對每個輸入樣本，采用隨機(jī)梯度下降算法，動態(tài)更新網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)重和偏倚，以使網(wǎng)絡(luò)的輸出不斷地接近期望的輸出。
BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法推導(dǎo)（更新權(quán)重和偏倚）：
從上面推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)：
對于任意從神經(jīng)元i（輸出神經(jīng)元/隱層神經(jīng)元）至 神經(jīng)元j（隱層神經(jīng)元/輸出層神經(jīng)元）的權(quán)重w ijwijw_{ij}，其權(quán)重更新量Δw ijΔwijDelta w_{ij}=學(xué)習(xí)步長η ηeta × × imes 前一層神經(jīng)元的輸出（x ixix_{i} 或y jyjy_{j}）× × imes 后一層神經(jīng)元（y jyjy_{j}或o koko_{k}）的誤差
神經(jīng)元偏倚的變化量：ΔΘ ΔΘ Delta Theta=學(xué)習(xí)步長η ηeta × × imes 乘以神經(jīng)元的誤差
BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法過程
網(wǎng)絡(luò)的初始化：包括權(quán)重和偏倚的初始化
計(jì)算隱含層的輸入輸出
計(jì)算輸出層的輸入輸出
誤差的計(jì)算：隱層和輸出層的誤差
權(quán)值的更新：1. 輸入層—隱層。2. 隱層—輸出層
偏倚的更新：神經(jīng)元的步長η ηeta × × imes 相應(yīng)的誤差err
判斷算法迭代是否結(jié)束：1.超過迭代次數(shù)，2.相鄰的兩次誤差之間的差別小于閾值等。
誤差的反向傳播描述
反向傳播過程是這樣的：輸出層每個節(jié)點(diǎn)都會得到一個誤差e（d k ?o kdk?okd_{k}-o_{k}），把e作為輸出層反向輸入，這時候就像是輸出層當(dāng)輸入層一樣把誤差往回傳播，先得到輸出層誤差err kerrkerr_{k}，然后將輸出層err kerrkerr_{k}根據(jù)連接權(quán)重往隱層傳輸，得到隱層誤差err jerrjerr_{j}。具體如下圖所示（畫的有點(diǎn)難看，將就看吧。。）
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