為什么序列的自相關(guān)函數(shù)可以體現(xiàn)出隨機性？

相關(guān)函數(shù)：外衣不神秘，先剝開看看

信號啊信號，多想將你蹂躪，事實上，卻反被蹂躪至死 …

信號到底是個什么東西，千百年來為何無數(shù)先人前赴后繼，說白了就是電磁波；深了點就是電磁波的形狀包含了信息；再深了點就是電磁波的形狀被編了碼或加了密；歸根究底，就是電磁波嘛，只不過像是雕刻藝術(shù)一樣搞得富含”深意”，或圓潤，或線條錯亂，或姿態(tài)妖嬈…【shape請自行腦補】

【對不起，好像扯遠了，那么重點來了，快劃！】

相關(guān)函數(shù)是干嘛滴！誰搞出來滴！搞出來干嘛滴！這都是需要好好想一想滴！

舉個例子先：為什么序列的自相關(guān)函數(shù)可以體現(xiàn)出隨機性？一串由+1，-1組成的序列完全隨機，另外一個序列也完全隨機一一OK， 相乘的結(jié)果肯定有一半是-1，一半是+1，全部加起來肯定是0。一個完全隨機的序列，他進行N拍延遲后得到的一定是另外一個完全隨機的序列。如果你同意上一段話，那么后面不需要我解釋了吧。如果序列的隨機性不夠，則一一相乘得到的+1和-1個數(shù)不相等，全部加起來的結(jié)果就不是0，隨機性越差，結(jié)果之絕對值就越大。

所以我們看到了什么：信號的相關(guān)函數(shù)透露了一個秘密，現(xiàn)在的我和N年之后的我有多相似。

互相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)

通俗的講，所謂相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，差不多就是一個人有哪些特點的意思了

共軛對稱R(τ)=R?(?τ)；

自相關(guān)原點值equal to信號能量R(τ=0)=∫∞?∞s(t)s?(t?0)dt；

相關(guān)函數(shù)的面積equal to信號面積模的平方；【這個畫圖才行】

F[R(τ)]為實數(shù)

若兩信號頻域上能量譜相同，時域波形不同，則兩信號相關(guān)函數(shù)相同

信號卷積：與相關(guān)函數(shù)傻傻混淆

前面相關(guān)函數(shù)已作說明，那么卷積又是什么呢，有那么麻煩嗎？ 不推薦用“反轉(zhuǎn)/翻轉(zhuǎn)/反褶/對稱”等解釋卷積。好好的信號為什么要翻轉(zhuǎn)？導致學生難以理解卷積的物理意義。

這個其實非常簡單的概念，國內(nèi)的大多數(shù)教材卻沒有講透。

直接看圖，不信看不懂。以離散信號為例，連續(xù)信號同理。

已知x[0]=a,x[1]=b,x[2]=c:

已知y[0]=i,y[1]=j,y[2]=k:

下面通過演示求x[n] * y[n]的過程，揭示卷積的物理意義。

第一步，x[n]乘以y[0]并平移到位置0：

第二步，x[n]乘以y[1]并平移到位置1：

第三步，x[n]乘以y[2]并平移到位置2：

最后，把上面三個圖疊加，就得到了x[n] * y[n]：

所以呢，卷積就是加權(quán)求和，通俗的說： 在輸入信號的每個位置，疊加一個單位響應(yīng)，就得到了輸出信號。 這正是單位響應(yīng)是如此重要的原因。

下面搬搬搬，知乎大神實在太厲害，不得不佩服：復(fù)利的例子來理解卷積可能更好理解一些：

小明存入100元錢，年利率是5%，按復(fù)利計算（即將每一年所獲利息加入本金，以計算下一年的利息），那么在五年之后他能拿到的錢數(shù)是，如下表所示：

將這筆錢存入銀行的一年之后，小明又往銀行中存入了100元錢，年利率仍為5%，那么這筆錢按復(fù)利計算，到了第五年，將收回的錢數(shù)是100(1+5\%)^4，我們將這一結(jié)果作為新的一行加入上面的表格中：

以此類推，如果小明每年都往銀行中存入新的100元錢，那么這個收益表格將是這樣的：

可見，最終小明拿到的錢將等于他各年存入的錢分別計算復(fù)利之后得到的錢數(shù)的總和，即：

用求和符號來簡化這個公式，可以得到：

在上式中，為小明的存錢函數(shù)，而為存入銀行的每一筆錢的復(fù)利計算函數(shù)。在這里，小明最終得到的錢就是他的存錢函數(shù)和復(fù)利計算函數(shù)的卷積。

為了更清晰地看到這一點，我們將這個公式推廣到連續(xù)的情況，也就是說，小明在從到的這一段時間內(nèi)，每時每刻都往銀行里存錢，他的存錢函數(shù)為，而銀行也對他存入的每一筆錢按復(fù)利公式計算收益，則小明到時間將得到的總錢數(shù)為：

這也就是卷積的表達式了，上式可以記為。 相信通過上面這個例子，大家應(yīng)該能夠很清晰地記住卷積公式了。

下面我們再展開說兩句： 如果我們將小明的存款函數(shù)視為一個信號發(fā)生（也就是輸入/激勵）的過程，而將復(fù)利函數(shù)視為一個系統(tǒng)對信號的響應(yīng)函數(shù)（也就是反饋/響應(yīng)），那么二者的卷積就可以看做是在時刻對系統(tǒng)進行觀察，得到的觀察結(jié)果（也就是輸出）將是過去產(chǎn)生的所有信號經(jīng)過系統(tǒng)的「處理／響應(yīng)」后得到的結(jié)果的疊加，這也就是卷積的物理意義了。

此處請注意卷積公式，對比相關(guān)函數(shù)公式，你會發(fā)現(xiàn)有意思的事情

輸入信號：s1(t) ,沖激響應(yīng)：s2(t)

此處放上相關(guān)函數(shù)公式，方便對比：

互相關(guān)函數(shù)

是不是可以發(fā)現(xiàn)點interesting的地方，get 一下點：

神奇的公式：R12(τ)=s1(τ)?s?2(?τ)

卷積的性質(zhì)，脾氣怎么y

可交換/可結(jié)合/可分配，記住這個就行

相關(guān)與卷積的區(qū)別

相關(guān)公式和卷積公式很像，相關(guān)能利用卷積表示，所以有人覺得兩個概念有關(guān)系，其實二者從概念上沒有聯(lián)系。

相關(guān)運算中被積函數(shù)沒有時間反褶的過程，而卷積運算中有。

相關(guān)函數(shù)不滿足交換，而卷積可以。

Matlab中的函數(shù)

Cross-correlation(互相關(guān))

兩個離散時間序列的互相關(guān)【圖片沒太搞明白。。?！?/p>

Convolution(卷積)

兩個向量u,v的卷積輸出【圖片還是沒太搞明白。。。再( ╯□╰ )】

仿真分析

仿真結(jié)果

在上面的仿真中，自相關(guān)函數(shù)等于其與自身的卷積?。“l(fā)現(xiàn)沒有?。。》蟝et的點?。。?！哈哈哈 R12(τ)=s1(τ)?s?2(?τ)