如何選擇以及有效使用不同的湍流模型

COMSOL Multiphysics? 提供了多個(gè)不同的湍流問(wèn)題求解公式：L-VEL、algebraic yPlus、Spalart-Allmaras、k-ε、 k-ω、低雷諾數(shù) k-ε、SST 以及 v2-f 湍流模型。 所有這些公式都可以在“CFD 模塊”中調(diào)用，L-VEL、algebraic yPlus、k-ε 和低雷諾數(shù) k-ε 則在“傳熱模塊”中可用。本文簡(jiǎn)要介紹了我們?yōu)楹我褂眠@些不同的湍流模型，如何從中選擇，以及如何有效使用它們。

湍流模擬簡(jiǎn)介

讓我們先從平板上的流體流動(dòng)說(shuō)起，如下圖所示。勻速流體接觸到平板的前緣，開始形成一個(gè)層流邊界層。該區(qū)域的流動(dòng)很容易預(yù)測(cè)。經(jīng)過(guò)一段距離后，邊界層中開始出現(xiàn)較小的混沌振蕩，流動(dòng)開始轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?，并最終完全轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鳌?/p>

三個(gè)區(qū)域間的轉(zhuǎn)變可通過(guò)雷諾數(shù)

在層流區(qū)，流體流動(dòng)可以通過(guò)求解穩(wěn)態(tài)Navier-Stokes 方程得到完全預(yù)測(cè)，其中預(yù)測(cè)了速度及壓力場(chǎng)。我們可以假定速度場(chǎng)不隨時(shí)間變化。Blasius 邊界層模型就是一個(gè)這樣的示例。當(dāng)流動(dòng)開始轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鲿r(shí)，即使入口的流率不隨時(shí)間變化，流動(dòng)中也會(huì)出現(xiàn)混沌振蕩，因此無(wú)法再假定流動(dòng)不隨時(shí)間變化。在這種情況下，需要求解瞬態(tài) Navier-Stokes 方程，所用網(wǎng)格也應(yīng)足夠精細(xì)，才能解析流動(dòng)中最小渦流的尺寸。圓柱體繞流模型就演示了這樣一種情況。穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)層流問(wèn)題都可以通過(guò) COMSOL Multiphysics 基本模塊求解，不需要任何附加模塊。

隨著流率、進(jìn)而是雷諾數(shù)的增加，流場(chǎng)中顯示出小渦流，振蕩的空間和時(shí)間尺度變得非常短，這使得使用 Navier-Stokes 方程對(duì)它們進(jìn)行數(shù)值解析變得不再可行。在本流型中，我們可以使用雷諾平均 Navier-Stokes （RANS）方程，它基于對(duì)流場(chǎng)（u）隨時(shí)間變化的觀察，包含局部的小振蕩(u’)，這可以處理為時(shí)間平均項(xiàng) (U)。對(duì)于一方程和兩方程模型，我們通過(guò)引入其他方程來(lái)增加湍流變量，例如湍流動(dòng)能（k-ε 和 k-ω 公式中的 k）。

在代數(shù)模型中，引入依賴于速度場(chǎng)的代數(shù)方程（在某些情況下，與壁的距離），以描述湍流強(qiáng)度。然后根據(jù)對(duì)湍流變量的估算，計(jì)算出增加流體分子粘度的渦流粘度。小渦旋傳遞的動(dòng)量反而轉(zhuǎn)化為了粘性運(yùn)輸。除了在靠近實(shí)體壁的粘性底層中，湍流耗散通常主導(dǎo)了各處的粘性耗散。在這里，湍流模型（例如低雷諾數(shù)模型）必須不斷降低湍流水平?；蛘撸仨毷褂帽诤瘮?shù)來(lái)計(jì)算新的邊界條件。

低雷諾數(shù)模型

“低雷諾數(shù)模型”這一術(shù)語(yǔ)聽起來(lái)自相矛盾，這是因?yàn)槿绻字Z數(shù)足夠高的話，流動(dòng)只能處于湍流狀態(tài)?！暗屠字Z數(shù)”的說(shuō)法并非指全局范圍內(nèi)的流動(dòng)，而是指粘性效應(yīng)占主導(dǎo)的近壁區(qū)域；即上圖中的粘性底層。當(dāng)與壁的距離接近零時(shí)，低雷諾數(shù)模型可以正確地再現(xiàn)不同流量的極限行為。因此，低雷諾數(shù)模型必須——舉例來(lái)說(shuō)——將k~y2預(yù)測(cè)為y→0。正確的極限行為意味著湍流模型可用于模擬整個(gè)邊界層，包括粘性底層和緩沖層。

大多數(shù)基于 ω 的模型都是低雷諾數(shù)模型。但是標(biāo)準(zhǔn) k-ε 模型和其他常見的 k-ε 模型不是低雷諾數(shù)模型。不過(guò)，其中一些模型可以通過(guò)補(bǔ)充所謂的阻尼函數(shù)來(lái)呈現(xiàn)正確的極限行為。這種模型因此被稱為低雷諾數(shù) k-ε 模型。

低雷諾數(shù)模型通?？梢詼?zhǔn)確地描述邊界層。然而，近壁的尖銳梯度需要非常高的網(wǎng)格分辨率，而高精度產(chǎn)生高昂的計(jì)算成本。這就是為什么在工業(yè)應(yīng)用中常常使用替代方法來(lái)模擬近壁流動(dòng)。

壁函數(shù)

靠近平整壁面處的湍流流動(dòng)可被分為四個(gè)區(qū)域。在壁面處，流體速度為 0，對(duì)于這之上的一個(gè)薄層，流體速度和與壁面的距離呈線性變化。本區(qū)域叫做粘性底層，或?qū)恿鞯讓?。遠(yuǎn)離壁面的區(qū)域稱作緩沖層。在緩沖區(qū)，湍流應(yīng)力開始取代粘性應(yīng)力占據(jù)主導(dǎo)，流動(dòng)最終在一個(gè)區(qū)域完全轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鳎移骄魉俸团c壁面距離的對(duì)數(shù)相關(guān)。該區(qū)域稱作對(duì)數(shù)律區(qū)。在距離壁面更遠(yuǎn)的區(qū)域，流動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)樽杂闪鲃?dòng)區(qū)。粘性層和緩沖層非常薄，如果到緩沖層底部的距離為

可以使用 RANS 模型計(jì)算所有四個(gè)區(qū)域中的流場(chǎng)。不過(guò)由于緩沖層的厚度非常小，在該區(qū)域使用近似會(huì)非常有幫助。壁函數(shù)中忽略了緩沖區(qū)的流場(chǎng)，并解析計(jì)算壁面處的非零流速。通過(guò)使用壁函數(shù)公式，您可以為粘性層中的流動(dòng)假定一個(gè)解析解，從而大幅降低所得模型的計(jì)算要求。對(duì)許多實(shí)際工程應(yīng)用而言，這是一個(gè)非常實(shí)用的方法。

如果您所需的精度等級(jí)高于壁函數(shù)公式所能提供的等級(jí)，可以考慮能夠求解整個(gè)流型（類似于上文中低雷諾數(shù)模型的流型）的湍流模型。例如，您可能希望計(jì)算一個(gè)對(duì)象上的升力和阻力，或者計(jì)算流體和壁面之間的傳熱。

自動(dòng)壁處理功能

自動(dòng)壁處理功能結(jié)合了壁函數(shù)和低雷諾數(shù)模型的優(yōu)點(diǎn)。自動(dòng)壁處理功能使公式適應(yīng)于模型中可用的網(wǎng)格，讓您同時(shí)獲得魯棒性和準(zhǔn)確性。例如，對(duì)于粗化的邊界層網(wǎng)格，該功能將利用穩(wěn)健的壁函數(shù)公式。然而，對(duì)于密集的邊界層網(wǎng)格，自動(dòng)壁處理功能將使用低雷諾數(shù)公式，將速度分布徹底分解為壁。

從低雷諾數(shù)公式到壁函數(shù)公式是一個(gè)平穩(wěn)的過(guò)渡。COMSOL 軟件將兩種公式混合在邊界元中。然后，軟件計(jì)算出邊界元的網(wǎng)格點(diǎn)與壁面的距離（無(wú)量綱抬升距離）。然后將公式組合應(yīng)用于邊界條件。

除了 k-ε 模型外，COMSOL Multiphysics 的所有湍流模型都支持自動(dòng)壁處理功能。這意味著低雷諾數(shù)模型亦適用于工業(yè)應(yīng)用，并且只有當(dāng)網(wǎng)格足夠精細(xì)時(shí)，才能調(diào)用它們的低雷諾數(shù)建模功能。

關(guān)于各種湍流模型

這八種 RANS 湍流模型中壁函數(shù)的使用情況，求解的附加變量數(shù)量，以及變量所代表的含義均不同。 所有這些模型都通過(guò)額外的湍流粘性項(xiàng)增強(qiáng)了Navier-Stokes 方程，但它們的計(jì)算方法不同。

L-VEL 和 yPlus

L-VEL 和 yPlus 代數(shù)湍流模型僅基于局部流速和與最近壁面的距離來(lái)計(jì)算湍流粘度；它們不求解附加變量。這些模型求解了各處的流動(dòng)，在所有八種模型中魯棒性最好，且計(jì)算強(qiáng)度最低。雖然它們是精度最低的模型，但對(duì)內(nèi)部流動(dòng)卻是很好的近似，尤其是在電子冷卻應(yīng)用中。

Spalart-Allmaras

Spalart-Allmaras 模型增加了一個(gè)額外的無(wú)衰減運(yùn)動(dòng)學(xué)渦流粘度變量。它是一個(gè)低雷諾數(shù)模型，可求解實(shí)體壁之內(nèi)的整個(gè)流場(chǎng)。模型最初針對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)應(yīng)用而開發(fā)，優(yōu)勢(shì)在于相對(duì)穩(wěn)健，且分辨率要求不高。從經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，模型沒(méi)有精確計(jì)算顯示了剪切流、分離流，或衰減湍流的場(chǎng)。它的優(yōu)勢(shì)在于穩(wěn)定和良好的收斂性。

k-ε

k-ε 模型求解了兩個(gè)變量：湍流動(dòng)能 k 和 湍流動(dòng)能耗散率 ε（epsilon）。本模型使用了壁函數(shù)，因此未模擬緩沖區(qū)中的流動(dòng)。由于 k-ε 模型具有很好的收斂速率和相對(duì)較低的內(nèi)存要求，因此在許多工業(yè)應(yīng)用中都頗受歡迎。但它沒(méi)有非常精確地計(jì)算顯示了流動(dòng)或射流中的逆壓梯度和強(qiáng)曲率的流場(chǎng)。它對(duì)于復(fù)雜幾何周圍外部流動(dòng)問(wèn)題的求解效果確實(shí)很好，例如，k-ε 模型可用于求解鈍體周圍的氣流。

下方列出的湍流模型均比 k-ε 模型更加非線性，除非提供良好的初始猜測(cè)值，否則它們往往難以收斂。k-ε 模型可用于提供良好的初始猜測(cè)值。使用 k-ε 模型求解模型，然后使用COMSOL Multiphysics 5.3 版本“CFD 模塊”中的生成新的湍流接口功能。

k-ω

k-ω 模型類似于 k-ε 模型，不過(guò)它求解的是動(dòng)能耗散的具體速率 ω（omega）。它是一個(gè)低雷諾數(shù)模型，但是可以與壁函數(shù)結(jié)合使用。它比 k-ε 模型的非線性程度更大，因此更加難以收斂，并且對(duì)于解的初始猜測(cè)值相當(dāng)敏感。在 k-ε 模型不夠精確的許多情況下，k-ω 模型會(huì)非常有幫助，比如內(nèi)部流動(dòng)、表現(xiàn)出強(qiáng)曲率的流動(dòng)、分離流，以及射流。流經(jīng)彎管的流動(dòng)就是一個(gè)很好的內(nèi)部流動(dòng)示例。

低雷諾數(shù) k-ε

低雷諾數(shù) k-ε 類似于 k-ε 模型，但沒(méi)有使用壁函數(shù)。它求解了每個(gè)位置的流動(dòng)，是對(duì) k-ε 的合理補(bǔ)充，擁有和后者一樣的優(yōu)勢(shì)，但通常要求網(wǎng)格更加密集；它的低雷諾數(shù)屬性不僅表現(xiàn)在壁面上，而是在各處發(fā)揮作用，使湍流衰減。一些情況下建議首先使用 k-ε 模型計(jì)算出一個(gè)良好的初始條件，然后用它求解低雷諾數(shù) k-ε 模型。另一種方法是使用自動(dòng)壁處理功能，首先利用粗化的邊界層網(wǎng)格來(lái)獲取壁函數(shù)，然后對(duì)所需壁面處的邊界層進(jìn)行細(xì)化，進(jìn)而獲得低雷諾數(shù)模型。

低雷諾數(shù) k-ε 模型可以計(jì)算升力和曳力，而且熱通量的建模精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于k-ε 模型。在許多情況中，它表現(xiàn)了出色的預(yù)測(cè)分離和再附的能力。

SST

最后，SST 模型結(jié)合了自由流中的 k-ε 和近壁的 k-ω 模型。它是一個(gè)低雷諾數(shù)模型，在工業(yè)應(yīng)用中是一個(gè)“萬(wàn)能”模型。在對(duì)分辨率的要求方面，該模型與 k-ω 模型和低雷諾數(shù)模型相似，但它的公式消除了 k-ω 模型和 k-ε 模型表現(xiàn)出的一些弱點(diǎn)。在示例模型中，通過(guò) SST 模型求解了在NACA 0012機(jī)翼表面的流動(dòng)，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合。

v2-f

在接近壁邊界的地方，平行方向上的速度脈動(dòng)通常會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于垂直于壁面的方向。速度脈動(dòng)被認(rèn)為是各向異性的。在遠(yuǎn)離墻壁的地方，所有方向的脈動(dòng)大小均相同，速度脈動(dòng)變?yōu)楦飨蛲浴?/p>

除了兩個(gè)分別描述湍流動(dòng)能（k）和耗散率（ε）的方程之外，v2-f 湍流模型使用了兩個(gè)新方程來(lái)描述湍流邊界層中湍流強(qiáng)度的各向異性。第一個(gè)方程描述了垂直于流線的湍流速度脈動(dòng)的傳遞。第二個(gè)方程式解釋了非局部效應(yīng)，例如由壁引起的、垂直和平行方向之間的湍流動(dòng)能的再分配的阻尼。

您應(yīng)該使用此模型描述曲面上的封閉流動(dòng)，例如旋風(fēng)建模。

網(wǎng)格剖分注意事項(xiàng)

不論層流還是湍流，對(duì)任何流體流動(dòng)問(wèn)題求解的計(jì)算強(qiáng)度都很高。不僅需要相對(duì)較細(xì)的網(wǎng)格，而且要求解許多變量。理想情況下，您應(yīng)該使用高速且安裝有大內(nèi)存的計(jì)算機(jī)來(lái)求解這類問(wèn)題，即使這樣，大型三維模型的仿真仍可能要持續(xù)幾小時(shí)甚至幾天。因此，我們希望使用盡量簡(jiǎn)單、但可以獲得流動(dòng)中所有細(xì)節(jié)的網(wǎng)格。

現(xiàn)在請(qǐng)?jiān)倏匆幌伦钌戏降膱D形，我們可以觀察到對(duì)于平板（以及大部分流動(dòng)問(wèn)題），速度場(chǎng)在壁面切線方向上變化相當(dāng)緩慢，但在法向上變化很迅速，尤其是考慮了緩沖層區(qū)域的情況。該觀察結(jié)果也鼓勵(lì)對(duì)邊界層網(wǎng)格的使用。邊界層網(wǎng)格（使用物理場(chǎng)控制網(wǎng)格時(shí)，壁面缺省使用的網(wǎng)格類型）會(huì)在壁面上插入細(xì)長(zhǎng)的二維矩形或三維三棱柱。高寬比較大的單元可以非常好地解析邊界法向上的流速變化，同時(shí)減少邊界切向上計(jì)算點(diǎn)的數(shù)量。

二維網(wǎng)格中環(huán)繞機(jī)翼的邊界層網(wǎng)格（紫紅色），以及周圍的三角形網(wǎng)格（青色）。

三維體網(wǎng)格中環(huán)繞鈍體的邊界層網(wǎng)格（紫紅色），以及周圍的四面體網(wǎng)格（青色）。

湍流模型的計(jì)算結(jié)果

使用這些湍流模型求解流動(dòng)仿真時(shí)，您都會(huì)希望驗(yàn)證解是否精確。當(dāng)然，與其他任何有限元模型一樣，您可以簡(jiǎn)單地使用越來(lái)越細(xì)化的網(wǎng)格來(lái)重新模擬，并觀察解隨網(wǎng)格細(xì)化程度增加的變化情況。一旦解在您可接受的范圍內(nèi)無(wú)變化，則認(rèn)為您的模擬相對(duì)網(wǎng)格是收斂的。但在模擬湍流時(shí)，還需要檢查其他一些值。

使用壁函數(shù)公式時(shí)，您將希望檢查無(wú)量綱壁分辨率（繪圖會(huì)缺省生成）。通過(guò)該值來(lái)判斷邊界層的計(jì)算域起始和終止位置，而且不應(yīng)該太大。如果壁分辨率超過(guò)了數(shù)百，您應(yīng)在這些區(qū)域使用更加細(xì)化的邊界層網(wǎng)格。在使用壁函數(shù)時(shí)，第二個(gè)應(yīng)檢查的變量是在長(zhǎng)度單位上的壁抬升距離。該變量與所假定的粘性層厚度相關(guān)，相對(duì)幾何周圍的尺寸應(yīng)該較小。如果不是這樣，您就應(yīng)該細(xì)化這些區(qū)域的網(wǎng)格。

無(wú)量綱最大壁抬升距離小于 100，因此無(wú)需細(xì)化邊界層的網(wǎng)格。

當(dāng)不使用自動(dòng)壁處理功能來(lái)求解低雷諾數(shù)模型時(shí)，檢查到單元中心的無(wú)量綱距離（會(huì)缺省生成）。在代數(shù)模型中，該值應(yīng)該在每個(gè)地方都為同一量級(jí)，在兩方程模型和 v2-f 模型中則應(yīng)小于 0.5。如果大于該值，則應(yīng)在這些區(qū)域細(xì)化網(wǎng)格。

結(jié)束寄語(yǔ)

本文介紹了 COMSOL Multiphysics 提供的各種湍流模型，何時(shí)以及為何要使用它們。軟件的真正優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在當(dāng)您希望將流體流動(dòng)仿真與其他物理場(chǎng)進(jìn)行耦合時(shí)，這里僅舉幾例，比如找出大風(fēng)中太陽(yáng)能電池板上的應(yīng)力、模擬換熱器中的強(qiáng)制對(duì)流，或者攪拌器中的質(zhì)量傳遞等。