一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題

Linear Programming線性規(guī)劃，就是目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的優(yōu)化問題，是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法，英文縮寫LP。

一、業(yè)務(wù)問題描述：這是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，具體要求如下：

某公司生產(chǎn)氨氣（NH3）和氯化銨（NH4CI）, 公司的日處理能力為50單位的氮（N）, 180單位的氨（H）, 40單位氯（CI）. 氨氣的利潤(rùn)為30$/每單位、氯化銨的利潤(rùn)為40$/每單位，如何確定氨氣和氯化銨的產(chǎn)量，使利潤(rùn)最大？

二、從數(shù)學(xué)的角度理解和定義該問題：

將上述生產(chǎn)問題轉(zhuǎn)為為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型一般有以下三個(gè)步驟：

1.根據(jù)影響所要達(dá)到目的的因素找到?jīng)Q策變量；

2.由決策變量和所在達(dá)到目的之間的函數(shù)關(guān)系確定目標(biāo)函數(shù)；

3.由決策變量所受的限制條件確定決策變量所要滿足的約束條件。

三、OPL模型建立的步驟

下面用OPL語言來理解和定義該問題，OPL模型就是尋找決策變量，使得決策變量滿足約束條件并取得目標(biāo)函數(shù)最值的過程。下面是求解該問題的幾個(gè)步驟：

1.定義該問題的數(shù)據(jù)變量，

為了方便起見，以下定義的數(shù)據(jù)變量均為數(shù)組變量，數(shù)組是有序數(shù)據(jù)的集合，一個(gè)數(shù)組中的每一個(gè)元素都屬于同一種數(shù)據(jù)類型。

（1）Products 代表氣體的名稱，

{string}Products = ...;

即定義了數(shù)組名為“Products”的字符串?dāng)?shù)組，一維數(shù)組。

（2）Components 代表所含的成分，

{string} Components = ...;

即定義了數(shù)組名為“Components”的字符串?dāng)?shù)組，一維數(shù)組。

（3）Demand 代表每種氣體所含的成分，

floatDemand[Products][Components] = ...;

即定義了數(shù)組名為“Demand”的浮點(diǎn)型數(shù)組，二維數(shù)組。

（4）Profit 代表對(duì)應(yīng)氣體的利潤(rùn)，

float Profit[Products] =...;

即定義了數(shù)組名為“Profit”的浮點(diǎn)型數(shù)組，一維數(shù)組。

（5）Stock 代表該成分的日處理能力，

float Stock[Components] =...;

即定義了數(shù)組名為“Stock”的浮點(diǎn)型數(shù)組，一維數(shù)組。

2.數(shù)據(jù)的初始化；

定義了數(shù)據(jù)變量之后，要進(jìn)行數(shù)據(jù)的初始化，所謂初始化就是給數(shù)據(jù)變量賦值，下面依次給上述定義的數(shù)據(jù)變量賦值：

Products = { "NH3" "NH4CI"};

Components = { "N" "H" "CI"};

Demand = [ [1 3 0] [1 4 1] ];

Profit = [30 40];

Stock = [50 180 40];

3.定義決策變量，數(shù)據(jù)變量和決策變量是有區(qū)別的，數(shù)據(jù)變量是具體數(shù)據(jù)的名稱，比如之前定義的數(shù)據(jù)變量“Products”，代表該公司生產(chǎn)氣體的名稱，而決策變量是針對(duì)數(shù)學(xué)模型來說的，這個(gè)問題所需做的決策即每種氣體的產(chǎn)量，

dvar float+Production[Products];

dvar(decision variable)是定義決策變量的一個(gè)最常用的關(guān)鍵字，

此處定義了變量名為”Production”的決策變量，代表兩種氣體的產(chǎn)量，其實(shí)是浮點(diǎn)型數(shù)組。

4. 目標(biāo)函數(shù)的定義，即利潤(rùn)最大化，目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)，

maximize

sum( p in Products )

Profit[p] * Production[p];

5. 約束條件的設(shè)定，有三種成分有日處理能力的限制，用很簡(jiǎn)潔的寫法實(shí)現(xiàn)：

subject to {

forall( c in Components )

ct:

sum( p in Products )

Demand[p][c] * Production[p] <= Stock[c];

}

四、用IBM ILOG CPLEX Optimization Studio 12.8來求解該問題

IBM ILOG CPLEX Optimization Studio 12.8來求解該問題的具體操作過程如下：

打開軟件界面，有四個(gè)常用的窗口，分別是OPL項(xiàng)目導(dǎo)航窗口、編輯窗口、問題瀏覽器窗口、輸出窗口；

新建一個(gè)OPL項(xiàng)目，項(xiàng)目名稱是“gaseous”，勾選”Adda default Run Configuration”、“CreateModel”和“CreateData”，即該OPL項(xiàng)目包含一個(gè)模型文件和一個(gè)數(shù)據(jù)文件；

編輯模型文件的內(nèi)容，即“gaseous.mod”文件

該模型文件的內(nèi)容包含四部分內(nèi)容：

（1） 定義數(shù)據(jù)變量；

（2） 定義決策變量；

（3） 設(shè)定目標(biāo)函數(shù)；

（4） 設(shè)定約束條件；

編輯數(shù)據(jù)文件的內(nèi)容，即“gaseous.dat”文件

然后在”Configuration(default)”上執(zhí)行：

執(zhí)行 Run Configuration，得到如下輸出結(jié)果：

五、業(yè)務(wù)解讀

從IBM ILOG CPLEX Optimization Studio 12.8的運(yùn)行結(jié)果，可知當(dāng)氨氣的產(chǎn)量為6.6667個(gè)單位，氯化銨的產(chǎn)量為40個(gè)單位時(shí)，該公司得到最大利潤(rùn)，并滿足當(dāng)日每種成分的處理能力限制。