基于CORDIC算法的反正切函數(shù)計算模塊的設(shè)計

快速精確的反正弦函數(shù)運(yùn)算在現(xiàn)代工程中應(yīng)用廣泛。為了提高反正弦函數(shù)的精度和計算能力， 研究了基于CORD IC算法的反正弦函數(shù)運(yùn)算器的FPGA 實(shí)現(xiàn)， 并通過改進(jìn)算法減小了誤差， 使誤差精度達(dá)到10--4 數(shù)量級。并在X ilinx 的XC5VSX50T芯片上驗(yàn)證， 結(jié)果表明該運(yùn)算器的數(shù)據(jù)處理速度快， 精度較高， 適用于高速大數(shù)據(jù)量的數(shù)據(jù)信號處理領(lǐng)域。

在數(shù)字信號處理領(lǐng)域， 高速高精度的反正弦函數(shù)發(fā)生器有著廣泛的應(yīng)用。目前在FPGA 上實(shí)現(xiàn)反正弦函數(shù)運(yùn)算器采用的主要方法是查找表法和泰勒公式展開法。查找表法所需要的存儲單元隨著精度的增加或輸入值范圍的增大而成指數(shù)增加； 泰勒公式展開法將函數(shù)簡化成一系列的乘法和加法運(yùn)算，但是在FPGA 上實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算既耗時又占用大量資源。本文設(shè)計了基于CORDIC算法的反正切函數(shù)計算模塊，并且根據(jù)IEEE-754單精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式對輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)了高精度的浮點(diǎn)反正切函數(shù)的計算。

1 反正切函數(shù)實(shí)現(xiàn)原理

CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）算法即坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計算方法，是J.D.Volder1于1959年首次提出，主要用于三角函數(shù)、雙曲線、指數(shù)、對數(shù)的計算。該算法通過基本的加和移位運(yùn)算代替乘法運(yùn)算，使得矢量的旋轉(zhuǎn)和定向的計算不再需要三角函數(shù)、乘法、開方、反三角、指數(shù)等函數(shù)。

CORDIC算法有旋轉(zhuǎn)模式和向量模式兩種計算模式。旋轉(zhuǎn)模式可以用來計算一個輸入角的正弦、余弦，向量模式可以計算給定向量的角度和長度。

CORDIC算法的基本迭代公式為：

從上式可以看出，CORDIC算法在向量模式可以計算出給定向量（X,Y）的長度和角度，即從平面坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換。

2 數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換接口模塊

本文設(shè)計的反正切函數(shù)硬件模塊輸入為IEEE-754單精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù)，而模塊內(nèi)部迭代使用的是定點(diǎn)整型數(shù)據(jù)，因此需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

在圖1的輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換接口示意圖中，X、Y為輸入的IEEE-754浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式，輸入范圍是（-∞，+∞），經(jīng)過接口模塊轉(zhuǎn)換為整型定點(diǎn)數(shù)據(jù)Xn、Yn,其表示范圍是[-1 +1].

矢量（X,Y）在平面坐標(biāo)系中的角度為arctan（Y/X），它只與Y和X的比值有關(guān)，與Y和X的實(shí)際長度無關(guān)。用這個性質(zhì)可以以X和Y中絕對值最大的值作為歸一化數(shù)值，將X和Y的范圍重新映射在[-1 +1]之間，實(shí)現(xiàn)（X,Y）到（Xn,Yn）的轉(zhuǎn)換。

計算結(jié)束后輸出結(jié)果Z.Z是32位定點(diǎn)整型數(shù)據(jù)，且232被定義為2π，將其規(guī)格化為IEEE-754格式的過程如圖2所示。在對Z進(jìn)行規(guī)格化之前，需要進(jìn)行前導(dǎo)零檢測，以確定規(guī)格化時尾數(shù)左移的位數(shù)和指數(shù)位的大小，前導(dǎo)零的檢測硬件上可以用casex語句實(shí)現(xiàn)。

3 整體設(shè)計以及仿真綜合

浮點(diǎn)反正切函數(shù)的硬件結(jié)構(gòu)包括了三個主要部分，即浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換接口模塊、CORDIC內(nèi)核計算模塊和浮點(diǎn)輸出數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換接口模塊，如圖3所示。

采用Quartus II對設(shè)計進(jìn)行FPGA綜合，F(xiàn)PGA芯片選擇EP2C70F896C6,硬件環(huán)境為Altera公司的DE2-70平臺，總共需要1 522個邏輯單元，占用芯片資源的2%,最高工作頻率為100 MHz.

4 Nios II中反正切函數(shù)的自定義指令實(shí)現(xiàn)

反正切函數(shù)與Nios II CPU的接口采用multi-cycle custom instruction,dataa和datab為輸入數(shù)據(jù)，result為結(jié)果輸出，要從C語言中直接調(diào)用自定義指令，需要一個宏定義接口?？梢栽趕ystem.h文件中找到自定義指令的宏定義，如：

#define ALT_CI_CORDIC_ATAN2_N 0x00000000

#define ALT_CI_CORDIC_ATAN2（A,B） __builtin_custom_inii

（ALT_CI_CORDIC_ATAN2_N,（A），（B））

為了正確調(diào)用自定義指令，在主程序中重新做以下宏定義：

#define ATAN2（A,B） __builtin_custom_fnff（ALT_CI_CORDIC_ATAN2_N,（A），（B））

與system.h文件中系統(tǒng)自動生成的宏定義不同之處在于將宏定義的接口說明由"__builtin_custom_inii"改為了"__builtin_custom_fnff".系統(tǒng)自動生成的宏定義默認(rèn)輸入輸出皆為整型數(shù)據(jù)，改為"__builtin_custom_fnff"就是通知系統(tǒng)這是一條輸入輸出都是單精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù)類型的用戶自定義指令。這樣由CPU調(diào)用時就不會出現(xiàn)數(shù)據(jù)類型不匹配的錯誤。

通過在Nios II CPU中加入的JTAG_UART模塊，可以從調(diào)試終端窗口中獲得運(yùn)行結(jié)果。硬件IP核平均計算用時73個周期，而軟件計算平均用時21 000個周期，計算速度提升300倍以上。此時CPU工作頻率為100 MHz,且配置為最高性能，浮點(diǎn)反正切函數(shù)硬件模塊僅工作在50 MHz.浮點(diǎn)反正切函數(shù)硬件模塊的計算精度完全可以滿足單精度浮點(diǎn)數(shù)據(jù)的要求，計算誤差小于10e-6,因此可以用于對精度和速度都要求很高的各種信號處理領(lǐng)域。

利用CORD IC算法將反正弦函數(shù)轉(zhuǎn)換為加法和移位運(yùn)算， 降低了復(fù)雜度， 容易在硬件上實(shí)現(xiàn)。本文探討了基于CORDIC 算法的反正弦函數(shù)的硬件實(shí)現(xiàn)， 實(shí)現(xiàn)過程采用流水線結(jié)構(gòu)， 具有速度快、實(shí)現(xiàn)簡單、精度高等優(yōu)點(diǎn)。仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該運(yùn)算器的輸出誤差為10- 4數(shù)量級， 時鐘可達(dá)到150MH z, 具有較高的精度和運(yùn)行速度， 因此具有十分重要的工程研究和應(yīng)用意義。