利用射線光學(xué)仿真揭秘飛行器陀螺儀的工作原理

姿態(tài)探測(cè)指在三維空間中測(cè)量物體的方向和旋轉(zhuǎn)，這種技術(shù)對(duì)于飛機(jī)與航天器的導(dǎo)航至關(guān)重要。最近的研究證實(shí)，環(huán)形激光陀螺儀和纖維環(huán)陀螺儀能夠替代傳統(tǒng)的機(jī)械陀螺儀，精確地測(cè)量旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。此裝置的基本工作原理是一種被稱作薩格納克效應(yīng)的光學(xué)現(xiàn)象。在本文中，我們將利用射線光學(xué)仿真，觀察簡(jiǎn)單薩格納克干涉器中的薩格納克效應(yīng)。

究竟是我還是房間在旋轉(zhuǎn)？

任何導(dǎo)航系統(tǒng)的一項(xiàng)基本任務(wù)是保持追蹤物體的位置和方向，以及二者的變化率。導(dǎo)航系統(tǒng)對(duì)精度的要求達(dá)到了極致，特別是太空航行領(lǐng)域。舉例來說，通信衛(wèi)星可以敏感地響應(yīng)千分之一度每小時(shí)的細(xì)微角速度。

系統(tǒng)對(duì)精度的要求固然令人生畏，不過事實(shí)上姿態(tài)控制的基本任務(wù)可以歸納為一個(gè)簡(jiǎn)單的問題：如何確定我的旋轉(zhuǎn)速度以及旋轉(zhuǎn)軸？

原則上講，對(duì)于任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的任何觀測(cè)者而言，這個(gè)任務(wù)都是相同的，即便是旋轉(zhuǎn)餐廳中的賓客也不例外。

印度國(guó)賓大酒店的旋轉(zhuǎn)餐廳的照片，它是印度歷史最悠久的旋轉(zhuǎn)餐廳。該照片由 AryaSnow 拍攝，已獲 CC BY-SA 4.0 授權(quán)，并通過 Wikimedia Commons 共享。

假設(shè)你坐在旋轉(zhuǎn)餐廳里面就餐，現(xiàn)在正在推斷餐廳的角速度 Ω（單位：rad/s）。

最簡(jiǎn)單的方法就是往外看。選取一個(gè)靜止的目標(biāo)，比如建筑物或樹，然后觀察在你的視野中它的位置是否會(huì)隨時(shí)間變化。

上圖展示了在觀察者的視野中（比如從窗戶往外看），樹在初始時(shí)間 t1 和時(shí)間 t2 時(shí)的位置。設(shè)兩個(gè)視線之間的角度為 θ（單位：度）。如果相對(duì)于餐廳本身的大小，樹的距離很遠(yuǎn)，角速度的計(jì)算公式則為

太空中的相似場(chǎng)景

太空航行的難度比在餐廳吃飯大得多，所以我們必須注意幾個(gè)額外事項(xiàng)。在太空中，“靜止物體”的方法比較難實(shí)現(xiàn)。舉例來說，當(dāng)我們利用太陽敏感器對(duì)地球靜止軌道上的衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)控制時(shí)，還要考慮地球繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。相比之下，恒星敏感器的精度極其可靠，這是因?yàn)榛诟鞣N目標(biāo)前提，我們可以認(rèn)為恒星在太空的位置是始終不變的，且恒星更接近于一個(gè)光點(diǎn)，而不是有一定角度的連續(xù)光源。

除此之外，在航天器姿態(tài)測(cè)量與控制對(duì)精度的嚴(yán)苛標(biāo)準(zhǔn)下，被觀測(cè)物體的有限尺寸也需要考慮到，比如當(dāng)你看向太陽時(shí)，要知道自己在觀察太陽的哪一部分。在三維空間中實(shí)現(xiàn)任意旋轉(zhuǎn)至少需要兩個(gè)物體，否則你不能判斷旋轉(zhuǎn)軸的方向。

遮住視野

現(xiàn)在我們又回到原來的餐廳，只不過這次窗戶都關(guān)上了。既然向外看的視線被遮擋住了，你不能依賴于任何物體來判斷旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。

我們可以在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系內(nèi)做幾個(gè)實(shí)驗(yàn)來確定它的角速度。比如在地板上放一個(gè)球，觀察離心力是否會(huì)使它滾動(dòng)（這時(shí)你需要知道旋轉(zhuǎn)軸的位置——在太空航行中可不一定行！）。另一個(gè)方法是使用機(jī)械陀螺儀。

下個(gè)章節(jié)將解釋第三種方法——利用光的特性；準(zhǔn)確地說，真空中的光在所有坐標(biāo)系中擁有相同速度的特性。光在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中傳播時(shí)，它揭示了一種被稱作薩格納克效應(yīng)的現(xiàn)象。環(huán)形激光陀螺儀 就是利用了這種效應(yīng)。這種陀螺儀廣泛取代了利用高速回轉(zhuǎn)體的傳統(tǒng)機(jī)械式陀螺儀，環(huán)形激光陀螺儀舍棄了活動(dòng)部件，因此維護(hù)成本更低。

解釋薩格納克效應(yīng)

觀察薩格納克效應(yīng)最簡(jiǎn)單的方法是：利用兩束在同一個(gè)圓環(huán)中對(duì)向傳播——即反向運(yùn)動(dòng)——的光線。圓環(huán)以恒定的角速度 Ω 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（國(guó)際單位是弧度每秒，不過在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，我們可以用度每秒來代替它。）

初始時(shí)，兩束光線從圓環(huán)的 P0 點(diǎn)發(fā)射，沿圓環(huán)以光速反向傳播，與此同時(shí)，發(fā)射點(diǎn)開始繞坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)。當(dāng)沿順時(shí)針方向傳播的光線與發(fā)射點(diǎn)再次重合時(shí)，重合點(diǎn)為一個(gè)新的位置 P1，傳播距離略小于一個(gè)完整的圓。當(dāng)沿逆時(shí)針方向傳播的光線與發(fā)射點(diǎn)重合時(shí)，重合點(diǎn)為另一個(gè)不同的位置 P2，其傳播距離大于一個(gè)完整的圓。

當(dāng)然，這里的運(yùn)動(dòng)顯然被夸大了。在現(xiàn)實(shí)中，P0 同 P1 和 P2（以及后者之間）的位移可能小一百億倍！但是因?yàn)閮墒饩€的距離差伴隨著相移，而相移會(huì)在兩束光線之間產(chǎn)生干涉圖案，所以兩束光線的傳播距離的細(xì)微差別（同理還有傳播時(shí)間）還是可檢測(cè)到的。若設(shè) ΔL 為兩束光線傳播的距離差，則

(1)

其中，A 是圓環(huán)面積，真空光速為 c0 = 299,792,458 m/s。

事實(shí)證明，方程 (1) 不僅符合環(huán)形路徑，也適用于其他形狀。光程差只取決于環(huán)路的封閉面積，而不是形狀。我們可以根據(jù)廣義相對(duì)論推導(dǎo)出方程 (1) 的一般表達(dá)式。方程的核心在于，薩格納克效應(yīng)是一種相對(duì)論現(xiàn)象，對(duì)于這種現(xiàn)象，經(jīng)典推導(dǎo)可以得到相同的一階結(jié)果。參考文獻(xiàn) 1–2。

利用射線光學(xué)仿真演示薩格納克效應(yīng)

在本節(jié)中，我們將研究簡(jiǎn)單的薩格納克干涉儀模型。它的基本工作原理與環(huán)形激光陀螺儀相同，不過前者不需要考慮光束路徑上的激光介質(zhì)，所以模型創(chuàng)建步驟更加簡(jiǎn)單。（除了強(qiáng)度更大之外，激光介質(zhì)還會(huì)引入很多其他復(fù)雜性，比如色散效應(yīng)，不過為了方便描述，我們可以忽略。）但是，對(duì)于給定的薩格納克干涉儀模型幾何與擁有相同鏡子布局的環(huán)形激光干涉儀，二者會(huì)產(chǎn)生同樣的光程差和相位延遲，所以這個(gè)模型依舊可以提供大量信息。

基本的薩格納克干涉儀幾何由一個(gè)分光器、兩面鏡子和一個(gè)可吸收射出光線的障礙物組成。圖示如下。

此模型的幾何參數(shù)見下表。

參數(shù)名稱	公式	值	描述
λ0	N/A	632.8 nm	真空波長(zhǎng)
R	N/A	10 cm	圓環(huán)半徑
b		17.3 cm	三角形邊長(zhǎng)
P		52.0 cm	三角形周長(zhǎng)
A		130 cm2	三角形面積

幾何結(jié)構(gòu)有時(shí)被設(shè)計(jì)成正方形，而不是三角形，這時(shí)三個(gè)鏡子位于三個(gè)頂點(diǎn)上，分光器在另一個(gè)頂點(diǎn)上。系統(tǒng)中光線的傳播路徑通過方向箭頭來表示。由于整個(gè)裝置沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，因此在碰到障礙物之前，沿逆時(shí)針方向發(fā)射的光線比順時(shí)針光線的傳播距離稍遠(yuǎn)一些。

為了直觀演示這一現(xiàn)象，請(qǐng)觀看下方動(dòng)畫（請(qǐng)注意，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)又被夸大了一百億倍！）。

在第一個(gè)動(dòng)畫中，觀察者站在慣性（非加速）坐標(biāo)系中。雖然光線的傳播路徑都是直線，但是它們撞擊鏡子的時(shí)間卻不一樣。在第二個(gè)動(dòng)畫中，觀察者“乘坐”著宇宙飛船，可視為身處非慣性坐標(biāo)系中（嚴(yán)格來說，即使在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，對(duì)向傳播的光線的運(yùn)動(dòng)速度也相同；任何坐標(biāo)系中光速均不變?。?。

代入上文給出的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)，方程 (1) 計(jì)算出兩束對(duì)向傳播光線之間的光程差為 8 × 10-16 米，即 0.8 飛米，約等于質(zhì)子的半徑；這個(gè)數(shù)值顯然很難測(cè)量！薩格納克干涉儀和環(huán)形激光陀螺儀通常不會(huì)直接給出光程長(zhǎng)，而是報(bào)告頻率差或者拍頻 Δν，其公式為：

(2)

其中 ν（Hz）是光的頻率，L 是沿三角形周長(zhǎng)傳播的光的光程長(zhǎng)度。

注意，L 不一定是三角形的周長(zhǎng)，因?yàn)橄到y(tǒng)中可能存在共用運(yùn)動(dòng)的介質(zhì)，比如沿光束路徑、折射率不等于 1（n ≠ 1）的激光介質(zhì)。在本例中，假設(shè)鏡子和分光器之間為真空空間。則拍頻的數(shù)量級(jí)為 1 Hz，當(dāng)然比質(zhì)子半徑的距離容易測(cè)量得多。

該模型利用幾何光學(xué) 接口來追蹤薩格納克干涉儀幾何中的光線。兩個(gè)鏡子被施加了專門產(chǎn)生鏡面反射的鏡像 邊界條件。分光器采用了材料不連續(xù)性 邊界條件，用戶定義的反射比為 0.5，所以兩個(gè)對(duì)向傳播光束具有相同的強(qiáng)度。

我們還利用了旋轉(zhuǎn)域 特征使裝置旋轉(zhuǎn)，如下圖所示：

所得繪圖顯示了鏡面光學(xué)系統(tǒng)中沿兩個(gè)方向傳播的光線，然而由于與光速相比，鏡子的移動(dòng)速度非常慢，所以我們很難將兩個(gè)路徑區(qū)分開。如果放大一百億左右，才能辨別出兩個(gè)隔著微小距離的三角形。

在下方繪圖中，拍頻是干涉儀角速度的函數(shù)。二者函數(shù)關(guān)系是線性的，符合方程 (1)–(2)。繪圖左下角出現(xiàn)了一些數(shù)值噪聲。這是數(shù)值精度造成的，在模型文檔中將解釋更多細(xì)節(jié)。

姿態(tài)探測(cè)應(yīng)用于航空航天導(dǎo)航

上文提到的薩格納克干涉儀和相關(guān)裝置——包括環(huán)形激光陀螺儀和光纖陀螺儀——都屬于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用；慣性導(dǎo)航系統(tǒng)以一個(gè)已知位置為起點(diǎn)，將平移速度和角速度隨時(shí)間的變化整合在一起，從而預(yù)測(cè)物體的位置和方向?，F(xiàn)實(shí)中，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)通常需要與以太空中其他物體為參照物的絕對(duì)位置和絕對(duì)方向測(cè)量相結(jié)合。絕對(duì)測(cè)量可以利用地球敏感器、太陽敏感器或恒星敏感器；利用地球表面已知位置上的射頻信標(biāo)；利用地球磁場(chǎng)測(cè)量；或者利用以上任意組合來完成。

平移速度和角速度的微小測(cè)量誤差會(huì)導(dǎo)致慣性導(dǎo)航系統(tǒng)隨時(shí)間推移變得越來越不穩(wěn)定。使用以上任意一種敏感器定期進(jìn)行絕對(duì)測(cè)量，有利于將不確定性限制在一個(gè)更合理的數(shù)值內(nèi)。下圖預(yù)測(cè)了不確定性隨時(shí)間的變化。

結(jié)論

我們成功地利用射線光學(xué)仿真演示了簡(jiǎn)單干涉儀內(nèi)的薩格納克效應(yīng)。只要所有活動(dòng)部件的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速，拍頻便符合基于廣義相對(duì)論的嚴(yán)密理論。薩格納克干涉儀或環(huán)形激光陀螺儀之內(nèi)的光程差的大小僅僅取決于對(duì)向傳播光束所圍住的面積，而非圓環(huán)的幾何結(jié)構(gòu)。