淺析curvelet變換原理與理解

　　Curvelet變換是基于傅里葉變換和小波變換的一種改進(jìn)，其特點(diǎn)是有高度的各向異性，具有良好表達(dá)圖形沿邊緣的信息的能力，對于恢復(fù)形狀的沿邊緣的主要結(jié)構(gòu)和抑制周邊噪聲有其特有優(yōu)勢。

　　其過程為

　　這和傳統(tǒng)的DFT及小波變換的處理過程類似，把圖表中的curvelet換成DFT和wavelet就可以了。

　　Curvelet變換是最近圖像處理較新的一種多尺度幾何變換算法。其發(fā)展歷程在短短十年間：

　　1999年，Candès和Donoho在Ridgelet變換的基礎(chǔ)上提出了連續(xù)曲波（Curvelet）變換——第一代Curvelet變換中的Curvelet99。

　　2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet變換中的Curvelet02。

　　2002年，Candès等人提出了第二代Curvelet變換。

　　2005年，Candès提出了兩種基于第二代Curvelet變換理論的快速離散實(shí)現(xiàn)方法：

　　1）非均勻空間抽樣的二維FFT算法（Unequally-Spaced Fast Fourier Transform，USFFT）；

　　2）Wrap算法（Wrapping-Based Transform）

　　與小波變換類似，Curvelet變換同樣有其對應(yīng)公式。Curvelet系數(shù)可由下式得到，即信號與小波函數(shù)內(nèi)積：

　　這里j表示尺度，l表示方向，k表示位移。變換的推導(dǎo)以及原理是個十分復(fù)雜的過程，這需要有相當(dāng)強(qiáng)的數(shù)學(xué)功底。

　　Curvelet變換原理

　　Curvelet 變換通過對Radon 域內(nèi)的每一個投影軸作一維小波分析，并由局部脊波分析得到多尺度結(jié)構(gòu)。設(shè)參量θ是常數(shù)，平移量1是變量，脊波系數(shù)R，（a，b，θ）為

　　然后對每個分塊用式（1，2）進(jìn)行脊波分析。上面每步均可逆，經(jīng)過逆變換可得重建圖像。

　　通過Radon域的多角度投影，Curvelet變換明顯加強(qiáng)了目標(biāo)邊界。同時由于Curvelet變換是多尺度脊波變換的子集，它可以用投影切片定理來實(shí)現(xiàn)：一幅n×n的圖像可表達(dá)成2n條徑向線的積分結(jié)果，對每條線的投影數(shù)據(jù)計(jì)算一維小波變換，就得到脊波系數(shù)。這樣的Curvelet變換冗余因子達(dá)到16J+1。由于經(jīng)典算法中分塊的徑向抽樣角度恒定，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換將導(dǎo)致在同一塊內(nèi)數(shù)據(jù)的非均勻抽樣，當(dāng)塊中心附近的抽樣值滿足奈奎斯特抽樣定理要求時，在塊的邊界部分將出現(xiàn)欠抽樣;而當(dāng)塊邊界部分滿足抽樣定理要求時，塊中心部分?jǐn)?shù)據(jù)將會過抽樣，而且塊的尺寸越大，非均勻抽樣的影響就越明顯。因此，在原算法中盡管離散Curvelet變換的實(shí)現(xiàn)較簡單，但是為了無失真地重構(gòu)圖像，保證塊邊界周圍的抽樣值足夠多，它在塊的中心部分實(shí)施了過抽樣，因此耗時和冗余度也相應(yīng)增大。