對多層感知器和反向傳播進行入門級的介紹 - 全文

摘要： 本文對多層感知器和反向傳播進行入門級的介紹。 人工神經(jīng)網(wǎng)絡是一種計算模型，啟發(fā)自人類大腦處理信息的生物神經(jīng)網(wǎng)絡。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡是一種計算模型，啟發(fā)自人類大腦處理信息的生物神經(jīng)網(wǎng)絡。人工神經(jīng)網(wǎng)絡在語音識別、計算機視覺和文本處理領域取得了一系列突破，讓機器學習研究和產(chǎn)業(yè)感到了興奮。在本篇博文中，我們將試圖理解一種稱為「多層感知器（Multi Layer Perceptron）」的特定的人工神經(jīng)網(wǎng)絡。
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單個神經(jīng)元

神經(jīng)網(wǎng)絡中計算的基本單元是神經(jīng)元，一般稱作「節(jié)點」（node）或者「單元」（unit）。節(jié)點從其他節(jié)點接收輸入，或者從外部源接收輸入，然后計算輸出。每個輸入都輔有「權重」（weight，即 w），權重取決于其他輸入的相對重要性。節(jié)點將函數(shù) f（定義如下）應用到加權后的輸入總和，如圖 1 所示：

圖 1：單個神經(jīng)元

此網(wǎng)絡接受 X1 和 X2 的數(shù)值輸入，其權重分別為 w1 和 w2。另外，還有配有權重 b（稱為「偏置（bias）」）的輸入 1。我們之后會詳細介紹「偏置」的作用。

神經(jīng)元的輸出 Y 如圖 1 所示進行計算。函數(shù) f 是非線性的，叫做激活函數(shù)。激活函數(shù)的作用是將非線性引入神經(jīng)元的輸出。因為大多數(shù)現(xiàn)實世界的數(shù)據(jù)都是非線性的，我們希望神經(jīng)元能夠學習非線性的函數(shù)表示，所以這種應用至關重要。

每個（非線性）激活函數(shù)都接收一個數(shù)字，并進行特定、固定的數(shù)學計算 [2]。在實踐中，可能會碰到幾種激活函數(shù)：

Sigmoid（S 型激活函數(shù)）：輸入一個實值，輸出一個 0 至 1 間的值 σ(x) = 1 / (1 + exp(?x))

tanh（雙曲正切函數(shù)）：輸入一個實值，輸出一個 [-1,1] 間的值 tanh(x) = 2σ(2x) ? 1

ReLU：ReLU 代表修正線性單元。輸出一個實值，并設定 0 的閾值（函數(shù)會將負值變?yōu)榱悖ゝ(x) = max(0, x)

下圖 [2] 表示了上述的激活函數(shù)

圖 2：不同的激活函數(shù)。

偏置的重要性：偏置的主要功能是為每一個節(jié)點提供可訓練的常量值（在節(jié)點接收的正常輸入以外）。神經(jīng)元中偏置的作用，詳見這個鏈接：

前饋神經(jīng)網(wǎng)絡

前饋神經(jīng)網(wǎng)絡是最先發(fā)明也是最簡單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡 [3]。它包含了安排在多個層中的多個神經(jīng)元（節(jié)點）。相鄰層的節(jié)點有連接或者邊（edge）。所有的連接都配有權重。

圖 3 是一個前饋神經(jīng)網(wǎng)絡的例子。

圖 3： 一個前饋神經(jīng)網(wǎng)絡的例子

一個前饋神經(jīng)網(wǎng)絡可以包含三種節(jié)點：

1. 輸入節(jié)點（Input Nodes）：輸入節(jié)點從外部世界提供信息，總稱為「輸入層」。在輸入節(jié)點中，不進行任何的計算——僅向隱藏節(jié)點傳遞信息。

2. 隱藏節(jié)點（Hidden Nodes）：隱藏節(jié)點和外部世界沒有直接聯(lián)系（由此得名）。這些節(jié)點進行計算，并將信息從輸入節(jié)點傳遞到輸出節(jié)點。隱藏節(jié)點總稱為「隱藏層」。盡管一個前饋神經(jīng)網(wǎng)絡只有一個輸入層和一個輸出層，但網(wǎng)絡里可以沒有也可以有多個隱藏層。

3. 輸出節(jié)點（Output Nodes）：輸出節(jié)點總稱為「輸出層」，負責計算，并從網(wǎng)絡向外部世界傳遞信息。

在前饋網(wǎng)絡中，信息只單向移動——從輸入層開始前向移動，然后通過隱藏層（如果有的話），再到輸出層。在網(wǎng)絡中沒有循環(huán)或回路 [3]（前饋神經(jīng)網(wǎng)絡的這個屬性和遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡不同，后者的節(jié)點連接構成循環(huán)）。

下面是兩個前饋神經(jīng)網(wǎng)絡的例子：
1. 單層感知器——這是最簡單的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡，不包含任何隱藏層。你可以在 [4] [5] [6] [7] 中了解更多關于單層感知器的知識。

2. 多層感知器——多層感知器有至少一個隱藏層。我們在下面會只討論多層感知器，因為在現(xiàn)在的實際應用中，它們比單層感知器要更有用。

多層感知器

多層感知器（Multi Layer Perceptron，即 MLP）包括至少一個隱藏層（除了一個輸入層和一個輸出層以外）。單層感知器只能學習線性函數(shù)，而多層感知器也可以學習非線性函數(shù)。

圖 4：有一個隱藏層的多層感知器

圖 4 表示了含有一個隱藏層的多層感知器。注意，所有的連接都有權重，但在圖中只標記了三個權重（w0,，w1，w2）。

輸入層：輸入層有三個節(jié)點。偏置節(jié)點值為 1。其他兩個節(jié)點從 X1 和 X2 取外部輸入（皆為根據(jù)輸入數(shù)據(jù)集取的數(shù)字值）。和上文討論的一樣，在輸入層不進行任何計算，所以輸入層節(jié)點的輸出是 1、X1 和 X2 三個值被傳入隱藏層。

隱藏層：隱藏層也有三個節(jié)點，偏置節(jié)點輸出為 1。隱藏層其他兩個節(jié)點的輸出取決于輸入層的輸出（1，X1，X2）以及連接（邊界）所附的權重。圖 4 顯示了隱藏層（高亮）中一個輸出的計算。其他隱藏節(jié)點的輸出計算同理。需留意 *f *指代激活函數(shù)。這些輸出被傳入輸出層的節(jié)點。

輸出層：輸出層有兩個節(jié)點，從隱藏層接收輸入，并執(zhí)行類似高亮出的隱藏層的計算。這些作為計算結果的計算值（Y1 和 Y2）就是多層感知器的輸出。

給出一系列特征 X = (x1, x2, ...) 和目標 Y，一個多層感知器可以以分類或者回歸為目的，學習到特征和目標之間的關系。

為了更好的理解多層感知器，我們舉一個例子。假設我們有這樣一個學生分數(shù)數(shù)據(jù)集：

兩個輸入欄表示了學生學習的時間和期中考試的分數(shù)。最終結果欄可以有兩種值，1 或者 0，來表示學生是否通過的期末考試。例如，我們可以看到，如果學生學習了 35 個小時并在期中獲得了 67 分，他 / 她就會通過期末考試。

現(xiàn)在我們假設我們想預測一個學習了 25 個小時并在期中考試中獲得 70 分的學生是否能夠通過期末考試。

這是一個二元分類問題，多層感知器可以從給定的樣本（訓練數(shù)據(jù)）進行學習，并且根據(jù)給出的新的數(shù)據(jù)點，進行準確的預測。在下面我們可以看到一個多層感知器如何學習這種關系。

訓練我們的多層感知器：反向傳播算法

反向傳播誤差，通?？s寫為「BackProp」，是幾種訓練人工神經(jīng)網(wǎng)絡的方法之一。這是一種監(jiān)督學習方法，即通過標記的訓練數(shù)據(jù)來學習（有監(jiān)督者來引導學習）。

簡單說來，BackProp 就像「從錯誤中學習」。監(jiān)督者在人工神經(jīng)網(wǎng)絡犯錯誤時進行糾正。

一個人工神經(jīng)網(wǎng)絡包含多層的節(jié)點；輸入層，中間隱藏層和輸出層。相鄰層節(jié)點的連接都有配有「權重」。學習的目的是為這些邊緣分配正確的權重。通過輸入向量，這些權重可以決定輸出向量。

在監(jiān)督學習中，訓練集是已標注的。這意味著對于一些給定的輸入，我們知道期望 / 期待的輸出（標注）。

反向傳播算法：最初，所有的邊權重（edge weight）都是隨機分配的。對于所有訓練數(shù)據(jù)集中的輸入，人工神經(jīng)網(wǎng)絡都被激活，并且觀察其輸出。這些輸出會和我們已知的、期望的輸出進行比較，誤差會「傳播」回上一層。該誤差會被標注，權重也會被相應的「調整」。該流程重復，直到輸出誤差低于制定的標準。

上述算法結束后，我們就得到了一個學習過的人工神經(jīng)網(wǎng)絡，該網(wǎng)絡被認為是可以接受「新」輸入的。該人工神經(jīng)網(wǎng)絡可以說從幾個樣本（標注數(shù)據(jù)）和其錯誤（誤差傳播）中得到了學習。

現(xiàn)在我們知道了反向傳播的原理，我們回到上面的學生分數(shù)數(shù)據(jù)集。

圖 5：多層感知器的前向傳播

圖 5 中的多層感知器（修改自 Sebastian Raschka 漂亮的反向傳播算法圖解：https://github.com/rasbt/python-machine-learning-book/blob/master/faq/visual-backpropagation.md）的輸入層有兩個節(jié)點（除了偏置節(jié)點以外），兩個節(jié)點分別接收「學習小時數(shù)」和「期中考試分數(shù)」。感知器也有一個包含兩個節(jié)點的隱藏層（除了偏置節(jié)點以外）。輸出層也有兩個節(jié)點——上面一個節(jié)點輸出「通過」的概率，下面一個節(jié)點輸出「不通過」的概率。

在分類任務中，我們通常在感知器的輸出層中使用 Softmax 函數(shù)作為激活函數(shù)，以保證輸出的是概率并且相加等于 1。Softmax 函數(shù)接收一個隨機實值的分數(shù)向量，轉化成多個介于 0 和 1 之間、并且總和為 1 的多個向量值。所以，在這個例子中：
概率（Pass）+概率（Fail）=1

第一步：前向傳播
網(wǎng)絡中所有的權重都是隨機分配的。我們現(xiàn)在考慮圖 5 中標注 V 的隱藏層節(jié)點。假設從輸入連接到這些節(jié)點的權重分別為 w1、w2 和 w3（如圖所示）。

神經(jīng)網(wǎng)絡會將第一個訓練樣本作為輸入（我們已知在輸入為 35 和 67 的情況下，通過的概率為 1）。
網(wǎng)絡的輸入=[35, 67]

期望的網(wǎng)絡輸出（目標）=[1, 0]

涉及到的節(jié)點的輸出 V 可以按如下方式計算（*f* 是類似 Sigmoid 的激活函數(shù)）：
V = f(1*w1 + 35*w2 + 67*w3)

同樣，隱藏層的其他節(jié)點的輸出也可以計算。隱藏層兩個節(jié)點的輸出，是輸出層兩個節(jié)點的輸入。這讓我們可以計算輸出層兩個輸出的概率值。

假設輸出層兩個節(jié)點的輸出概率分別為 0.4 和 0.6（因為權重隨機，輸出也會隨機）。我們可以看到計算后的概率（0.4 和 0.6）距離期望概率非常遠（1 和 0），所以圖 5 中的網(wǎng)絡被視為有「錯誤輸出」。

第二步：反向傳播和權重更新

我們計算輸出節(jié)點的總誤差，并將這些誤差用反向傳播算法傳播回網(wǎng)絡，以計算梯度。接下來，我們使用類似梯度下降之類的算法來「調整」網(wǎng)絡中的所有權重，目的是減少輸出層的誤差。圖 6 展示了這一過程（暫時忽略圖中的數(shù)學等式）。

假設附給節(jié)點的新權重分別是 w4，w5 和 w6（在反向傳播和權重調整之后）。

圖 6：多層感知器中的反向傳播和權重更新步驟

如果我們現(xiàn)在再次向網(wǎng)絡輸入同樣的樣本，網(wǎng)絡應該比之前有更好的表現(xiàn)，因為為了最小化誤差，已經(jīng)調整了權重。如圖 7 所示，和之前的 [0.6, -0.4] 相比，輸出節(jié)點的誤差已經(jīng)減少到了 [0.2, -0.2]。這意味著我們的網(wǎng)絡已經(jīng)學習了如何正確對第一個訓練樣本進行分類。

圖 7：在同樣的輸入下，多層感知器網(wǎng)絡有更好的表現(xiàn)

用我們數(shù)據(jù)集中的其他訓練樣本來重復這一過程。這樣，我們的網(wǎng)絡就可以被視為學習了這些例子。

現(xiàn)在，如果我們想預測一個學習了 25 個小時、期中考試 70 分的學生是否能通過期末考試，我們可以通過前向傳播步驟來計算 Pass 和 Fail 的輸出概率。

我回避了數(shù)學公式和類似「梯度下降（Gradient Descent）」之類概念的解釋，而是培養(yǎng)了一種對于算法的直覺。對于反向傳播算法更加注重數(shù)學方面討論，請參加此鏈接： ~vlsi/AI/backp_t_en/backprop.html

多層感知器的 3D 可視化

Adam Harley 創(chuàng)造了一個多層感知器的 3D 可視化（~aharley/vis/fc/），并已經(jīng)開始使用 MNIST 數(shù)據(jù)庫手寫的數(shù)字進行訓練。

此網(wǎng)絡從一個 28 x 28 的手寫數(shù)字圖像接受 784 個數(shù)字像素值作為輸入（在輸入層有對應的 784 個節(jié)點）。網(wǎng)絡的第一個隱藏層有 300 個節(jié)點，第二個隱藏層有 100 個節(jié)點，輸出層有 10 個節(jié)點（對應 10 個數(shù)字）[15]。

雖然這個網(wǎng)絡跟我們剛才討論的相比大了很多（使用了更多的隱藏層和節(jié)點），所有前向傳播和反向傳播步驟的計算（對于每個節(jié)點而言）方式都是一樣的。

圖 8 顯示了輸入數(shù)字為「5」的時候的網(wǎng)絡

圖 8：輸入為「5」時的視覺化的網(wǎng)絡

輸出值比其它節(jié)點高的節(jié)點，用更亮的顏色表示。在輸入層，更亮的節(jié)點代表接受的數(shù)字像素值更高。注意，在輸出層，亮色的節(jié)點是如何代表數(shù)字 5 的（代表輸出概率為 1，其他 9 個節(jié)點的輸出概率為 0）。這意味著多層感知器對輸入數(shù)字進行了正確的分類。我非常推薦對這個可視化進行探究，觀察不同節(jié)點之間的聯(lián)系。

結論

在這篇文章中，我跳過了部分概念的重要細節(jié)，以促進理解。為了全面理解多層感知器，我推薦閱讀斯坦福神經(jīng)網(wǎng)絡教程的第一、第二、第三和案例研究部分。如果有任何問題或者建議，請在下方評論告訴我。