自適應(yīng)濾波算法理解與應(yīng)用

　　什么是自適應(yīng)濾波器

　　自適應(yīng)濾波器是能夠根據(jù)輸入信號自動調(diào)整性能進行數(shù)字信號處理的數(shù)字濾波器。作為對比，非自適應(yīng)濾波器有靜態(tài)的濾波器系數(shù)，這些靜態(tài)系數(shù)一起組成傳遞函數(shù)。

　　對于一些應(yīng)用來說，由于事先并不知道所需要進行操作的參數(shù)，例如一些噪聲信號的特性，所以要求使用自適應(yīng)的系數(shù)進行處理。在這種情況下，通常使用自適應(yīng)濾波器，自適應(yīng)濾波器使用反饋來調(diào)整濾波器系數(shù)以及頻率響應(yīng)。

　　總的來說，自適應(yīng)的過程涉及到將代價函數(shù)用于確定如何更改濾波器系數(shù)從而減小下一次迭代過程成本的算法。價值函數(shù)是濾波器最佳性能的判斷準(zhǔn)則，比如減小輸入信號中的噪聲成分的能力。

　　隨著數(shù)字信號處理器性能的增強，自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用越來越常見，時至今日它們已經(jīng)廣泛地用于手機以及其它通信設(shè)備、數(shù)碼錄像機和數(shù)碼照相機以及醫(yī)療監(jiān)測設(shè)備中。

　　下面圖示的框圖是最小均方濾波器（LMS）和遞歸最小平方（en:Recursive least squares filter，RLS，即我們平時說的最小二乘法）這些特殊自適應(yīng)濾波器實現(xiàn)的基礎(chǔ)。框圖的理論基礎(chǔ)是可變?yōu)V波器能夠得到所要信號的估計。

　　自適應(yīng)濾波器有4種基本應(yīng)用類型：

　　1） 系統(tǒng)辨識：這時參考信號就是未知系統(tǒng)的輸出，當(dāng)誤差最小時，此時自適應(yīng)濾波器就與未知系統(tǒng)具有相近的特性，自適應(yīng)濾波器用來提供一個在某種意義上能夠最好擬合未知裝置的線性模型

　　2） 逆模型：在這類應(yīng)用中，自適應(yīng)濾波器的作用是提供一個逆模型，該模型可在某種意義上最好擬合未知噪聲裝置。理想地，在線性系統(tǒng)的情況下，該逆模型具有等于未知裝置轉(zhuǎn)移函數(shù)倒數(shù)的轉(zhuǎn)移函數(shù)，使得二者的組合構(gòu)成一個理想的傳輸媒介。該系統(tǒng)輸入的延遲構(gòu)成自適應(yīng)濾波器的期望響應(yīng)。在某些應(yīng)用中，該系統(tǒng)輸入不加延遲地用做期望響應(yīng)。

　　3） 預(yù)測：在這類應(yīng)用中，自適應(yīng)濾波器的作用是對隨機信號的當(dāng)前值提供某種意義上的一個最好預(yù)測。于是，信號的當(dāng)前值用作自適應(yīng)濾波器的期望響應(yīng)。信號的過去值加到濾波器的輸入端。取決于感興趣的應(yīng)用，自適應(yīng)濾波器的輸出或估計誤差均可作為系統(tǒng)的輸出。在第一種情況下，系統(tǒng)作為一個預(yù)測器；而在后一種情況下，系統(tǒng)作為預(yù)測誤差濾波器。

　　4） 干擾消除：在一類應(yīng)用中，自適應(yīng)濾波器以某種意義上的最優(yōu)化方式消除包含在基本信號中的未知干擾。基本信號用作自適應(yīng)濾波器的期望響應(yīng)，參考信號用作濾波器的輸入。參考信號來自定位的某一傳感器或一組傳感器，并以承載新息的信號是微弱的或基本不可預(yù)測的方式，供給基本信號上。

　　這也就是說，得到期望輸出往往不是引入自適應(yīng)濾波器的目的，引入它的目的是得到未知系統(tǒng)模型、得到未知信道的傳遞函數(shù)的倒數(shù)、得到未來信號或誤差和得到消除干擾的原信號。

　　自適應(yīng)濾波通俗點講就是混合信號向期望信號的逼近。在逼近的過程中，根據(jù)觀測信號與真實（期望）信號的均放誤差（MSE）為量化指標(biāo)，按照一定規(guī)則進行迭代（迭代規(guī)則自己可以設(shè)定），直到算法收斂（收斂條件有很多，比如達到預(yù)先設(shè)定的迭代次數(shù)、或達到允許的誤差等）?，F(xiàn)有的常見自適應(yīng)算法有RLS，LMS，NLMS，往往都是按照梯度下降法或牛頓法進行迭代。

　　算法背景

　　經(jīng)典的濾波算法包括維納濾波，卡爾曼濾波，這些濾波算法都需要對輸入信號的相關(guān)系數(shù)，噪聲功率等參數(shù)進行估計，而實際中很難實現(xiàn)這些參數(shù)的準(zhǔn)確估計，而這些參數(shù)的準(zhǔn)確估計直接影響到濾波器的濾波效果。另一方面，這兩類濾波器一般設(shè)計完成，參數(shù)便不可改變，實際應(yīng)用中，希望濾波器的參數(shù)能夠隨著輸入信號的變化而改變，以取得較好的實時性處理效果。為了彌補傳統(tǒng)濾波算法的不足，滿足信號處理的要求，又發(fā)展了自適應(yīng)濾波。

　　算法基本原理

　　自適應(yīng)濾波與維納濾波，卡爾曼濾波最大的區(qū)別在于，自適應(yīng)濾波在輸出與濾波系統(tǒng)之間存在有反饋通道，根據(jù)某一時刻濾波器的輸出與期望信號的誤差調(diào)整濾波器的系數(shù)，從而實現(xiàn)濾波器系數(shù)的動態(tài)調(diào)整，實現(xiàn)最優(yōu)濾波。

　?。?）信號模型

　　自適應(yīng)濾波的目的仍然是從觀測信號中提取真實準(zhǔn)確的期望信號，因此涉及到的信號有：

　　期望信號 d（n）

　　輸入信號 x（n）=d（n）+v（n）

　　輸出信號 y（n）

　?。?）算法原理

　　一個M階濾波器，系數(shù)為w（m），則輸出為：

　　y（n）=Σw（m）x（n-m） m=0…M

　　寫成矩陣形式： y（j）=WT（j）*X（j）

　　n時刻的輸出誤差為： e（j）=d（j）-y（j）= d（j）- WT（j）*X（j）

　　定義目標(biāo)函數(shù)為 E［e（j）^2］，則有：

　　J（j）=E［e（j）^2］= E［（d（j）- WT（j）*X（j））^2］

　　當(dāng)上述誤差達到最小時，即實現(xiàn)最優(yōu)濾波，這種目標(biāo)函數(shù)確定的為最小方差自適應(yīng)濾波。

　　對于目標(biāo)函數(shù)J（j），需要求得使其取到最小值對應(yīng)的W，這里使用梯度下降法進行最優(yōu)化：

　　W（j+1）=W（j）+1/2*μ（-▽J（j））

　　▽J（j）=-2E［X（j）*（ d（j）- WT（j）*X（j））］= -2E［X（j）e（j）］

　　W（j+1）=W（j）+μE［X（j）e（j）］

　　其中-2X（j）e（j）稱為瞬時梯度，因為瞬時梯度是真實梯度的無偏估計，這里可以使用瞬時梯度代替真實梯度。

　　W（j+1）=W（j）+μX（j）e（j）

　　由此，可以得到自適應(yīng)濾波最佳系數(shù)的迭代公式。