捷聯(lián)慣導(dǎo)算法與組合導(dǎo)航原理的詳細(xì)介紹

　　近年來(lái)，慣性技術(shù)不論在軍事上、工業(yè)上，還是在民用上，特別是消費(fèi)電子產(chǎn)品領(lǐng)域，都獲得了廣泛的應(yīng)用，大到潛艇、艦船、高鐵、客機(jī)、導(dǎo)彈和人造衛(wèi)星，小到醫(yī)療器械、電動(dòng)獨(dú)輪車(chē)、小型四旋翼無(wú)人機(jī)、空中鼠標(biāo)和手機(jī)，都有慣性技術(shù)存在甚至大顯身手的身影。相應(yīng)地，慣性技術(shù)的研究和開(kāi)發(fā)也獲得前所未有的蓬勃發(fā)展，越來(lái)越多的高校學(xué)生、愛(ài)好者和工程技術(shù)人員加入到慣性技術(shù)的研發(fā)隊(duì)伍中來(lái)。

　　慣性技術(shù)涉及面廣，涵蓋元器件技術(shù)、測(cè)試設(shè)備和測(cè)試方法、系統(tǒng)集成技術(shù)和應(yīng)用開(kāi)發(fā)技術(shù)等方面，囿于篇幅和作者知識(shí)面限制，本書(shū)主要討論捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)算法方面的有關(guān)問(wèn)題，包括姿態(tài)算法基本理論、捷聯(lián)慣導(dǎo)更新算法與誤差分析、組合導(dǎo)航卡爾曼濾波原理、捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始對(duì)準(zhǔn)技術(shù)、組合導(dǎo)航系統(tǒng)建模以及算法仿真等內(nèi)容。希望讀者參閱之后能夠?qū)萋?lián)慣導(dǎo)算法有個(gè)系統(tǒng)而深入的理解，并能快速而有效地將基本算法應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。

　　在捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)（SINS）中慣性測(cè)量器件（陀螺和加速度計(jì)）直接與運(yùn)載體固聯(lián)，通過(guò)導(dǎo)航計(jì)算機(jī)采集慣性器件的輸出信息并進(jìn)行數(shù)值積分求解運(yùn)載體的姿態(tài)、速度和位置等導(dǎo)航參數(shù)，這三組參數(shù)的求解過(guò)程即所謂的姿態(tài)更新算法、速度更新算法和位置更新算法。特別在惡劣的高動(dòng)態(tài)環(huán)境下，高精度的SINS對(duì)慣性器件性能和導(dǎo)航算法精度的要求都非常苛刻，由于高精度慣性器件往往價(jià)格昂貴并且進(jìn)一步提升精度異常困難，所以在影響SINS精度的所有誤差源中要求因?qū)Ш剿惴ㄒ鸬恼`差比重必須很小，一般認(rèn)為應(yīng)小于5%。姿態(tài)更新算法是SINS算法的核心，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的解算精度影響最為突出，具有重要的研究和應(yīng)用價(jià)值。傳統(tǒng)的姿態(tài)更新算法有歐拉角法、方向余弦陣法和四元數(shù)法等方法，這些方法直接以陀螺采樣輸出作為輸入，使用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)或龍格—庫(kù)塔等方法求解姿態(tài)微分方程，未充分考慮轉(zhuǎn)動(dòng)的不可交換性誤差問(wèn)題。傳統(tǒng)姿態(tài)更新算法在理論上可以通過(guò)提高采樣和更新頻率來(lái)提高解算精度，但實(shí)際陀螺采樣頻率又受限于傳感器的帶寬和噪聲水平，因此傳統(tǒng)算法的精度提升空間相對(duì)有限，僅適用于對(duì)解算精度要求不太高的場(chǎng)合。

　　早在1775年，歐拉就提出了等效旋轉(zhuǎn)矢量的概念，指出剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（即繞固定點(diǎn)的任何有限角位移）均可用繞經(jīng)過(guò)該固定點(diǎn)的某軸的一次轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，建立了剛體上單位矢量在轉(zhuǎn)動(dòng)前后的變換公式。1840年，羅德里格使用后人稱(chēng)之為羅德里格參數(shù)的表示方法，推導(dǎo)了相繼兩次轉(zhuǎn)動(dòng)的合成公式，它與W. R. Hamilton在1843年發(fā)明的四元數(shù)乘法表示是一致的。研究表明，相繼多次的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題可用一系列的姿態(tài)變化量（變化四元數(shù)或變化矩陣）相乘來(lái)描述，每個(gè)姿態(tài)變化量與對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)的等效旋轉(zhuǎn)矢量之間存在轉(zhuǎn)換公式，使用等效旋轉(zhuǎn)矢量計(jì)算姿態(tài)變化量不存在任何原理上的誤差。因此，現(xiàn)代的SINS姿態(tài)更新算法研究的關(guān)鍵就在于如何使用陀螺輸出構(gòu)造等效旋轉(zhuǎn)矢量，以盡量減小和避免不可交換性誤差，后續(xù)再使用等效旋轉(zhuǎn)矢量計(jì)算姿態(tài)變化量和進(jìn)行姿態(tài)更新將變得非常簡(jiǎn)單，而不像傳統(tǒng)方法那樣，直接使用陀螺輸出進(jìn)行姿態(tài)更新容易引起不可交換性誤差。

　　1949年，J. H. Laning在研究火控系統(tǒng)的過(guò)程中詳細(xì)地分析了空間轉(zhuǎn)動(dòng)合成的性質(zhì)，推導(dǎo)了由等效旋轉(zhuǎn)矢量確定轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的公式，但是由于缺少更好的應(yīng)用背景驅(qū)動(dòng)（比如后來(lái)SINS發(fā)展的迫切需求），未能獲得廣泛的研究重視。20世紀(jì)50年代是機(jī)械陀螺儀飛速發(fā)展的一個(gè)重要時(shí)期，也正是在那時(shí)發(fā)現(xiàn)了著名的圓錐運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，即當(dāng)陀螺儀在其旋轉(zhuǎn)軸和輸出軸出現(xiàn)同頻不同相的角振動(dòng)時(shí)，盡管其輸入軸凈指向不變（在整體上沒(méi)有隨時(shí)間改變的趨勢(shì)項(xiàng)），但陀螺儀還是會(huì)敏感到并輸出常值角速率。1958年，為揭示圓錐運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象產(chǎn)生的根源，L. E. Goodman建立了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的等效旋轉(zhuǎn)矢量與角速度之間的關(guān)系式，后人稱(chēng)之為Goodman-Robinson定理，該定理從幾何上將轉(zhuǎn)動(dòng)不可交換性誤差的坐標(biāo)分量描述為單位球面上的一塊有向面積，其面積由對(duì)應(yīng)動(dòng)坐標(biāo)軸在單位球面上掃過(guò)的曲線與連接該曲線端點(diǎn)的大圓圍成，Goodman借助二維Green積分理論獲得了不可

　　交換性誤差的近似公式。1969年，基于Goodman近似公式，J. W. Jordan在假設(shè)陀螺角增量輸出為二次多項(xiàng)式條件下提出了等效旋轉(zhuǎn)矢量的“pre-processor”算法，它與后來(lái)發(fā)展的等效旋轉(zhuǎn)矢量二子樣算法完全一致。1969年，J. E. Bortz在其博士論文中詳細(xì)推導(dǎo)了等效旋轉(zhuǎn)矢量微分方程（1971年正式發(fā)表，后人稱(chēng)之為Bortz方程），它是利用陀螺輸出求解等效旋轉(zhuǎn)矢量的基本公式，奠定了等效旋轉(zhuǎn)矢量多子樣算法的理論基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)一般需對(duì)較復(fù)雜的Bortz方程做近似處理，事實(shí)上，其簡(jiǎn)化結(jié)果與Goodman公式完全一致，它也可以根據(jù)Laning公式簡(jiǎn)化獲得。

　　1983年，R. B. Miller采用在圓錐運(yùn)動(dòng)條件下使算法漂移誤差最小作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，推導(dǎo)了等效旋轉(zhuǎn)矢量三子樣優(yōu)化算法。1990年，J. E. Lee研究了四子樣優(yōu)化算法。1992年，Y. F. Jiang研究了利用本更新周期內(nèi)的三子樣及前更新周期內(nèi)的角增量計(jì)算旋轉(zhuǎn)矢量的優(yōu)化算法。1996年，M. B. Ignagni提出了由陀螺角增量構(gòu)造等效旋轉(zhuǎn)矢量的通式，并給出了多達(dá)10種類(lèi)型的等效旋轉(zhuǎn)矢量算法。1999年，C. G. Park總結(jié)提出了各子樣下求解圓錐誤差補(bǔ)償系數(shù)和算法漂移誤差估計(jì)的通用公式。至此，從理論上看，在理想的圓錐運(yùn)動(dòng)條件下的不可交換性誤差補(bǔ)償問(wèn)題得到了比較完美的解決。

　　捷聯(lián)慣導(dǎo)的基本概念在20世紀(jì)50年代就已經(jīng)提出了，但是由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力極其有限，在算法發(fā)展的早期階段姿態(tài)更新通常采用雙速回路算法方案：高速回路（e.g.，400Hz-10kHz）使用簡(jiǎn)單的一階算法補(bǔ)償由角振動(dòng)引起的姿態(tài)不可交換性誤差；中速回路（e.g.，50Hz-200Hz）以高速回路的處理結(jié)果作為輸入再使用相對(duì)復(fù)雜的高階算法進(jìn)行姿態(tài)矩陣或四元數(shù)更新。雙速回路算法的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)過(guò)程都稍顯繁瑣，它只是在計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力低下時(shí)期所采取的權(quán)宜之策，隨著通用計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，尤其是80年代中后期之后，導(dǎo)航計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力就不再是導(dǎo)航算法研究中需要著重關(guān)注的問(wèn)題。雙速回路算法的結(jié)構(gòu)研究已經(jīng)成為歷史，目前的計(jì)算機(jī)完全能夠滿(mǎn)足高速高精度姿態(tài)更新解算的要求。

　　Kalman濾波與組合導(dǎo)航原理簡(jiǎn)介

　　如果信號(hào)受噪聲干擾，為了從量測(cè)中恢復(fù)出有用信號(hào)而又要盡量減少干擾的影響，常常采用濾波器進(jìn)行信號(hào)處理。使用經(jīng)典濾波器時(shí)假定信號(hào)和干擾的頻率分布不同，通過(guò)設(shè)計(jì)特定的濾波器帶通和帶止頻段，實(shí)現(xiàn)有用信號(hào)和干擾的分離。但是，如果干擾的頻段很寬，比如白噪聲，在有用信號(hào)的頻段范圍內(nèi)也必然會(huì)存在干擾，這時(shí)經(jīng)典濾波器對(duì)濾除這部分干擾噪聲無(wú)能為力。若有用信號(hào)和干擾噪聲的頻帶相互重疊，信號(hào)處理時(shí)通常不再認(rèn)為有用信號(hào)是確定性的，而是帶有一定隨機(jī)性的。對(duì)于隨機(jī)信號(hào)不可能進(jìn)行準(zhǔn)確無(wú)誤差的恢復(fù)，只能根據(jù)信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)，并且一般采取某種統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則使估計(jì)誤差盡可能小。借用經(jīng)典濾波器的術(shù)語(yǔ)，這種針對(duì)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法也常常稱(chēng)為濾波器，或稱(chēng)為現(xiàn)代濾波器以區(qū)別于經(jīng)典濾波器，但須注意經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器之間是有本質(zhì)區(qū)別的。