精通信號處理設(shè)計小Tips（2）：數(shù)學(xué)的作用

　　本文作者maxfiner，畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)，擁有信號與信息處理專業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技術(shù)公司 無線通信部門，擁有多年的工程項目研發(fā)經(jīng)驗，同時兼?zhèn)?a target="_blank">算法理論研究，仿真驗證，以及對應(yīng)的硬件設(shè)計實現(xiàn)能力；具備通信物理層開發(fā)設(shè)計各個方面的實戰(zhàn)經(jīng) 驗...
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　　精通信號處理設(shè)計小Tips（2）：數(shù)學(xué)的作用

　　對于工科專業(yè)的工程師來說，數(shù)學(xué)到底是否有用？有多大用？都干什么用？相信是很多人曾經(jīng)考慮和關(guān)心的問題。結(jié)合電子工程方向，對此稍作討論，跟大伙交流。

　　對于電子工程方向，一般在大學(xué)會先后學(xué)習(xí)這么幾門數(shù)學(xué)課程：微積分，線性代數(shù)，概率論，復(fù)變函數(shù)，隨機過程，矩陣論，數(shù)值分析等。但對于大多數(shù)人來說，參加工作后，大家都會感慨，大部分內(nèi)容基本都忘光了。為什么呢？原因很簡單，因為再也沒有用到。對于很多具體的工程領(lǐng)域，這些課程的大部分的確不大用得著。就我個人工作經(jīng)歷來說，工作后，主要從事通信物理層的應(yīng)用和實現(xiàn)。微積分很少直接應(yīng)用，除了高等數(shù)學(xué)老師，還有誰會去關(guān)注柯西中值定理呢？復(fù)變函數(shù)更是多年未曾打過一次交道。這么些課程中，相對來說，用的較多的是兩樣，一個是傅里葉變換，一個是線性代數(shù)。最最頻繁使用的，是高中學(xué)到的一些知識，比如復(fù)數(shù)，三角函數(shù)，初等函數(shù)等等。

　　就像從初中一年級就開始花費大量時間學(xué)習(xí)英語，至今仍是聾啞英語一樣，大學(xué)的那么多課程，費了好些時間和力氣學(xué)習(xí)，卻沒有怎么用得上，想想真是令人惋惜?，F(xiàn)在回想起來，如果上大學(xué)只為了最終的一張文憑的話，我寧可不上。在現(xiàn)實中，一個單片機實用電路的設(shè)計經(jīng)驗，或者熟練的編寫一段軟件代碼，遠(yuǎn)比泰勒定理的證明更來得實在。

　　照如此說，似乎大學(xué)的數(shù)學(xué)也沒有啥用。這個結(jié)論先不必急于落下。先談?wù)勎以诠ぷ鲗嵺`中中碰到的具體數(shù)學(xué)應(yīng)用吧。頻譜分析需要用到傅里葉變換，這算是大學(xué)數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的一個。采樣定理的證明和更好的理解，也要用到傅里葉變換。數(shù)字上下變頻會涉及到三角函數(shù)中的積化和差。電路阻抗分析中會用到復(fù)數(shù)的運算。FPGA實現(xiàn)中會涉及到一些邏輯運算。FIR濾波處理從實現(xiàn)上看就是一個乘累加運算，背后是對各種頻譜分量的不同處理。應(yīng)用廣泛的相關(guān)累計運算也是乘累加運算。符號同步、頻偏估計、信道補償?shù)忍幚頃婕暗綇?fù)數(shù)形式的乘累加運算。

　　從以上的典型應(yīng)用來看，相當(dāng)多的數(shù)字信號處理應(yīng)用都離不開乘累加運算，比如相關(guān)、卷積、濾波等等，傅里葉變換的具體實現(xiàn)——離散傅里葉變換，其實現(xiàn)方式也是乘累加。這也是數(shù)字信號處理的魅力，一個簡單的乘累加運算，解決了各種各樣，各種形式的問題。一個成累加運算之所以能夠發(fā)揮如此巨大的威力，其原理和本質(zhì)都是基于線性時不變系統(tǒng)的前提。所以說，線性運算和與之緊密相連的線性系統(tǒng)，是我們必須好好理解的一個內(nèi)容。

　　不得不提的是傅里葉變換，對于電子工程和從事通信信號處理的工程師來說，這算是大學(xué)數(shù)學(xué)在工程實踐中最重要的一個應(yīng)用吧。比如信號的時移和頻移，信號的上下變頻處理，實信號的共軛對稱特性，復(fù)信號和實信號頻譜的差異，模擬信號的數(shù)字采樣，信號的帶通采樣，頻譜的混疊和抗混疊，頻譜的鏡像，上采樣中的內(nèi)插處理，下采樣中的抽取處理，等等等等，都可以從傅里葉變換的角度進行解釋和分析。對連續(xù)和離散傅里葉變換的全方位理解，有助于我們更深刻的解釋和分析具體應(yīng)用中的各種問題。

　　當(dāng)應(yīng)用MATLAB來做一些信號處理算法的仿真時，我才真正體會到線性代數(shù)的應(yīng)用價值和巨大威力。由于信號處理都是用離散的樣點來處理的，因此信號處理算法和實現(xiàn)都可以用矢量和矩陣的方式來表達(dá)和分析。比如最簡單的乘累加運算，可以看做是兩個矢量的相乘。信號處理的最基本和最頻繁的運算，諸如相關(guān)，卷積，濾波，傅里葉變換，所有的這些都可以用簡潔的矢量和矩陣形式表達(dá)出來。

　　線性代數(shù)大概研究幾個大方向：解方程，特征值分析，奇異值分析，穩(wěn)定性分析。在具體工程應(yīng)用最多的是基本的矢量運算和解方程。對矢量運算的理解非常有助于靈活運用MATLAB，因為MATLAB就是以矢量為處理對象的，矢量操作遠(yuǎn)比for循環(huán)高效的多得多。

　　當(dāng)初學(xué)習(xí)特征值的時候，始終不明白這個特征值到底有什么用，工作多年來也沒有看到它到底有什么用。但是，當(dāng)我因工作需要去了解LMS自適應(yīng)算法的原理時，我第一次強烈的感受到特征值的價值所在。稍微熟悉LMS算法的人都知道，LMS的每一步迭代，都涉及到一個步進常數(shù)，而這個常數(shù)該取多大，跟信號相關(guān)矩陣的特征值有密切聯(lián)系。張賢達(dá)老師曾經(jīng)寫過一本專著，專門討論線性代數(shù)在信號處理中的應(yīng)用，從中可以看到非常多的特征值，范數(shù)，奇異值等概念在信號處理中的具體應(yīng)用。

　　很多信號處理算法要解方程，解方程則涉及到形式多樣的矩陣分解方法，基于DSP數(shù)字信號處理器來搞這些矩陣分解算法是再合適不過了。但是對于實時性要求更高的應(yīng)用場景，更多的基于FPGA硬件實現(xiàn)，矩陣分解則用的不多，更多的是使用一些替代方法，比如基于迭代的方法。就像上面提到的LMS算法，就是替代需要矩陣分解的LS算法。因為迭代的方法用FPGA實現(xiàn)更為方便。

　　我個人的經(jīng)歷非常有限，只涉及信號處理在通信中的應(yīng)用的一小部分，以我的鼠光來看，對于通常的電路設(shè)計，軟件設(shè)計，邏輯設(shè)計等諸多領(lǐng)域，大學(xué)的數(shù)學(xué)實際應(yīng)用的不是太多，關(guān)聯(lián)不是很大，更多的是起到理論支撐和理解作用。但對于算法領(lǐng)域來說，比如通信信號處理，雷達(dá)信號處理，模式識別，數(shù)據(jù)挖掘，信息檢索等等，大學(xué)的數(shù)學(xué)知識還是有相當(dāng)多的用武之地的。

　　另外，也和我國當(dāng)前的發(fā)展現(xiàn)狀有很大關(guān)系，真正涉及大量數(shù)學(xué)知識的工程應(yīng)用團體和公司還比較少，大多處于比較初級和粗淺的應(yīng)用。試舉兩個例子，第一個，國內(nèi)做視頻監(jiān)控方面的廠商可謂成百上千家，但大多處于圖像采集，圖像壓縮編碼，圖像的傳輸和多種格式的顯示等初級應(yīng)用，涉及到圖像目標(biāo)檢測，圖像分割，圖像目標(biāo)識別等應(yīng)用的產(chǎn)品還非常少。而這些才是真正涉及大量數(shù)學(xué)和信號處理算法的地方，體現(xiàn)算法魅力和價值的地方。第二例，當(dāng)前市面上出現(xiàn)了家庭自動掃地機，可以自動充電，自動打掃地面，但是對于房間地面的遍歷，大多數(shù)掃地機采用非常簡單的隨機搜索方式，效率很低，以至于有些掃地機時不時的發(fā)出如下語音：“我很笨，可是我很勤奮！”?；蛘哒f：“請不要一直盯著我”。這也是無奈之舉。對于房間地面的高效遍歷，肯定是需要一套檢測和識別算法來有效支撐的，這些地方更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)和算法的價值。

　　真正的工程實踐中，物理、化學(xué)的實際用途更大，更廣。對社會產(chǎn)生巨大影響，產(chǎn)生巨大推動力量的更多的是物理學(xué)家，化學(xué)家，生物學(xué)家，醫(yī)學(xué)家等等，數(shù)學(xué)家相對要少些。有人說數(shù)學(xué)很美，描述的非?？鋸垼苍S當(dāng)事人的確有這種感覺。我個人的感覺是物理定律比純粹的數(shù)學(xué)公式更美。對大多數(shù)工程實踐人員來說，數(shù)學(xué)是有用，但也只是一種工具而已，遠(yuǎn)不是首要的，放到首位的始終是用簡單高效的方法解決實際的具體問題。

　　時間有限，能力更是有限，粗略的聊了這些和電子發(fā)燒友網(wǎng)工程師們交流。希望大家多多指正，建議和批評更是多多益善。
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下期開講——精通信號處理設(shè)計小Tips（3）：信號處理應(yīng)用所必須掌握的三大基石，敬請關(guān)注！

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