基于OpenMP的電磁場FDTD并行方法的程序設(shè)計

隨著多核技術(shù)的不斷發(fā)展，并行方法已經(jīng)成為一種處理較大規(guī)模問題的手段，同時在許多領(lǐng)域取得了成功地應(yīng)用。目前，并行算法的實現(xiàn)主要基于兩種標(biāo)準(zhǔn)：

MPI（Message Passing Interface）是一種基于消息傳遞并行編程模型的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，主要用于分布存儲體系結(jié)構(gòu)的現(xiàn)實，是已被證實了的理想的程序設(shè)計模型;OpenMP標(biāo)準(zhǔn)，主要用于共享存儲體系結(jié)構(gòu)的并行編程，可實現(xiàn)在SMP 集群系統(tǒng)內(nèi)多處理器的多線程并行計算。

OpenMP是一個應(yīng)用程序接口，通過規(guī)范一系列的編程制導(dǎo)、運行庫函數(shù)和環(huán)境變量來說明共享存儲體系結(jié)構(gòu)的并行機制，通常由于其較低的開銷和相對較簡單的編程而受到人們廣泛的關(guān)注。

時域有限差分（FDTD）方法是模擬計算電磁場的一種基本算法。自1966年Yee首次提出以來，經(jīng)過半個多世紀(jì)的發(fā)展，這一方法得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用。但是時域有限差分算法通常由于其串行方式使問題本身復(fù)雜化且運算較費時間而采用并行方式計算。因此，在PC機上研究并行FDTD算法問題，具有重要的理論與現(xiàn)實意義，可為大規(guī)模工程問題的并行化處理提供一定的方法借鑒與理論依據(jù)。本文以一維平面波在自由空間中的傳播為例，討論了采用OpenMP 技術(shù)對電磁場FDTD算法程序?qū)崿F(xiàn)并行化的方法，并將該并行方法在三維瞬態(tài)場電偶極子輻射FDTD程序中進行了驗證，也相當(dāng)于對該并行方法進行了一定的推廣，并通過實驗證明了該并行計算的有效性。

1、電磁場理論簡介

FDTD方法由微分形式的麥克斯韋（Maxwell）旋度方程出發(fā)進行離散而得到的一組時域推進公式。一維情況下，設(shè)TEM波沿z 軸方向傳播，介質(zhì)參數(shù)和場量均與x，y 無關(guān)，即- /-x = 0， -/ -y = 0 ，于是Maxwell方程為：

一維情況E 、H 分量空間節(jié)點取樣如圖1所示。

在自由空間中，σ = σm = 0 ，介質(zhì)為無耗，故而可得場的FDTD迭代方程為：

為了滿足數(shù)值計算的Courant穩(wěn)定性條件，通常選取時間步長為 Δt 空間間隔為 δ ，F(xiàn)DTD截斷邊界條件采用一階近似Mur，設(shè)截斷邊界處為Ex 節(jié)點，如圖2所示，則在Ex 節(jié)點處離散，得：

式中： Ex （k - 1）為截斷邊界內(nèi)的節(jié)點;c 在真空中為光速c0，在介質(zhì)中則為截斷邊界處波的傳播速度。

激勵源采用高斯脈沖源，其表達(dá)式為Ei （t），其中τ 為常數(shù)，決定了高斯脈沖的寬度。為了使入射波限制在空間有限區(qū)域，根據(jù)等效原理，在區(qū)域分界面上設(shè)置等效面電磁流，并設(shè)分界面外的場為零。所以，在總場-散射場區(qū)的分界面上（總場邊界）設(shè)置入射波電磁場的切向分量便可將入射波只引入到總場區(qū)。本實驗通過在一維FDTD 的總場邊界處引入高斯脈沖波，如圖3所示。

2、OpenMP 并行設(shè)計

2.1 OpenMP概述

OpenMP是基于共享存儲體系結(jié)構(gòu)的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，它不是一門獨立的語言，而是對基本語言的擴展，如C/C++，F(xiàn)ortran語言。其編程簡單，開銷小，規(guī)范并制定了一系列的編譯指導(dǎo)語句、運行庫函數(shù)和環(huán)境變量。對于傳統(tǒng)的串行代碼，采用OpenMP技術(shù)并行化時無需對原程序作大的改動，只需加入一些簡單的編譯指導(dǎo)語句即可。同時，OpenMP 提供了兩種粒度的并行方式：粗粒度并行和細(xì)粒度并行。OpenMP的細(xì)粒度并行是指利用OpenMP 只求解循環(huán)部分計算，又稱為循環(huán)級并行。由此可見，細(xì)粒度并行是一種最為簡單的并行方法。

2.2 OpenMP并行編程模型

OpenMP采用標(biāo)準(zhǔn)的并行模式--Fork/Join式并行執(zhí)行模式，如圖4所示，在編譯過程中使用編譯指導(dǎo)語句實現(xiàn)并行化。在程序開始執(zhí)行時，只有主線程的運行線程存在，在執(zhí)行的過程中，若遇到OpenMP 的指令要求并行執(zhí)行時，主線程會派生出子線程來執(zhí)行并行任務(wù)。在并行執(zhí)行的過程中，由主線程與派生出的子線程組成一個線程組來協(xié)同工作。在并行執(zhí)行結(jié)束后，派生出的子線程退出或掛起，不再工作，控制流程回到單獨的主線程中，直到下一個并行區(qū)或者程序執(zhí)行完畢。

2.3 FDTD算法的并行化

在用FDTD算法模擬計算電磁場的過程中，時間步長上的迭代過程是相關(guān)聯(lián)的、互相影響的，故而不能實現(xiàn)并行化。但是在一次迭代內(nèi)部，電場與磁場的計算僅需要前一時刻的計算結(jié)果，與其他區(qū)域的電場或者磁場分量無關(guān)，各個計算過程之間沒有影響、相互獨立，可以實現(xiàn)并行化。為此，本文采用OpenMP提供的細(xì)粒度并行的方式對該算法實現(xiàn)并行化，即OpenMP+細(xì)粒度并行。

3、并行FDTD 性能分析

3.1 仿真算例設(shè)計

為驗證FDTD算法并行的性能，以電磁波在自由空間中傳播的一維FDTD 算法為例，采用OpenMP 提供的細(xì)粒度技術(shù)實現(xiàn)并行化。激勵源采用Gauss脈沖源，其帶寬為10 GHz，τ = 0.2 ns， t0 = 0.8 - τ = 0.16 ns，總場邊界為z0 = 500Δz 處，Δt = τ/ 80 = 0.002 5 ns， Δt = dz/ （2c），吸收邊界采用一階近似Mur，波傳播的空間區(qū)域為節(jié)點1~1 000.用統(tǒng)計的方法，分別測量了2 000~10 000 之間不同迭代次數(shù)的串并行時間。

3.2 并行性能測試

并行程序性能測試可由并行算法的加速比和并行效率來衡量，假設(shè)有n 個并行部件，則對加速比、效率的定義如下：

（1）加速比speedup=單一計算機運行整個程序所花費時間同一臺計算機使用n 個并行部件的執(zhí)行時間;

（2）效率efficiency= speedup n.

程序串并行的運行時間由OpenMP 庫函數(shù)提供的OMP_get_wtime（）函數(shù)來測量。具體地，在測量串行程序運行時間時，注釋掉了程序中的并行編譯指導(dǎo)語句，并保持時間函數(shù)的位置不變。本文采用多次運行程序取穩(wěn)定值的方法，分別測量并記錄了不同迭代次數(shù)下的程序串并行運行時間。

3.3 測試環(huán)境

測試環(huán)境為Intel（R） Core（TM） 2 Duo CPUT5670@1.8 GHz，內(nèi)存為2 GB，操作系統(tǒng)為WinXP SP3，開發(fā)軟件為Intel Fortran 10.1.014 with vs 2005，測試結(jié)果如表1所示。

3.4 并行方法驗證

為了驗證本文所采用的OpenMP 并行算法的可行性，將該并行方法應(yīng)用于三維瞬態(tài)場電偶極子輻射FDTD程序中。設(shè)整個計算域空間為真空，垂直點偶極子位于計算域中心，即Ez（0，0，0），F(xiàn)DTD計算空間步長為5 cm，時間步長為83.333 ps，計算域為55×55×55 個元胞，截斷邊界為Mur吸收邊界，輻射源為高斯脈沖，測量并記錄了300~10 000之間不同迭代次數(shù)的串并行時間，測量結(jié)果見表2.

4、結(jié)論

本文從分析OpenMP本身的特點及編程模型入手，結(jié)合一維FDTD算法實例，采用OpenMP+細(xì)粒度并行的方式實現(xiàn)了并行化，并證明了基于OpenMP 的并行FDTD 算法的有效性，而且并行FDTD 算法在所選測試實例的不同迭代次數(shù)上均獲得了超線性的加速比。充分利用了OpenMP共享存儲體系結(jié)構(gòu)的特點，避免了消息傳遞帶來的開銷，取得了較其他并行FDTD算法更快加速比和更高的效率。更值得一提的是，將該并行方法應(yīng)用在三維電磁場FDTD 程序中也取得了很好的加速比和效率，可以預(yù)見，該優(yōu)化方法在更復(fù)雜的算法中應(yīng)用一定具有更理想的性能提升。但不足之處在于系統(tǒng)的可擴展性差，這是由于OpenMP 本身的特點所限制。

因此，今后的工作將放在對基于SMP 機群的MPI 與OpenMP混合編程模型的研究，從而克服系統(tǒng)擴展性差的缺點，進而提升系統(tǒng)的易用性和可移植性。