樣本量大于30可以認為是正態(tài)分布嗎

我經(jīng)常會被問到這么一個問題：樣本量多大就不用進行正態(tài)性檢驗了。殊不知，這問題的本身就是錯誤的，并不是樣本大，就一定要服從正態(tài)分布。我們可以輕易舉出一個反例來說明這個問題。比方說就用1-1000這一千個（甚至更多）自然數(shù)，組成一個樣本，那么這個樣本的分布就不是正態(tài)分布，因為1-1000服從的是均勻分布。另外，數(shù)據(jù)的分布基于形成的機理，有的分布天生就非正態(tài)（如壽命數(shù)據(jù)）。

但有些朋友，并不覺得這是一個錯誤的問題，甚至在他們的學習中還流傳著這么一個說法：樣本量大于30就可以認為是服從正態(tài)分布。當你向他問為什么的時候，會得到一個專業(yè)的解釋——中心極限定理。

中心極限定理

中心極限定理（Central Limit Theorem）是統(tǒng)計學中最重要的結論之一。在這里，我并不想給出中心極限定理專業(yè)的定義，只需要了解它告訴我們：來自某總體的一個樣本，無論該總體服從什么分布，只要樣本容量足夠大，其樣本均值都近似服從正態(tài)分布。

請注意這里的說法：“樣本均值“近似正態(tài)，而不是樣本本身服從正態(tài)（不是說你抽了30個樣品組成的樣本數(shù)據(jù)就正態(tài)）。這里又有一個大家疑惑的地方，樣本容量足夠大，多大才是足夠大？這個問題的答案和總體分布的形狀相關，如果樣本本是來自近似對稱分布的總體，那么當樣本量取相當?。ㄈ鐦颖玖咳?）的值的時候，正態(tài)逼近的結果也會非常好。然后，如果總體的分布嚴重傾斜，則樣本量必須取相當大的值。根據(jù)檢驗，對于大多數(shù)總體來說，樣本容量取30或者更大，就足以得到令人滿意的正態(tài)逼近結果。我想這可能就是錯誤認為樣本量大于30就認為是正態(tài)分布的出處了。

模擬擲骰子展示中心極限定理

為了展示中心極限定理，模擬多次投擲骰子來說明。

假設您擲骰子 1000 次。您希望得到相等數(shù)目的 1、2 等。讓我們查看 1000 次骰子的分布（圖1）。

現(xiàn)在假設您將投擲 2 次，并采用兩次投擲的平均值。您還將重復此試驗 1000 次。讓我們來看看兩次投擲的平均值的分布。這種分布如圖 2?所示。您是否注意到在只進行了兩次投擲的情況下，平均值的分布已經(jīng)呈現(xiàn)出了土堆形？

假設您現(xiàn)在投擲骰子三次，然后取三次投擲的平均值。再次重復此試驗 1000 次。讓我們來看看此舉對投擲的平均值分布有何影響。這種分布如圖 3?所示。同樣，分布的形狀與正態(tài)分布的形狀相當接近。您是否注意到分布上發(fā)生了其他變化？

讓我們投擲骰子五次，并取其平均值。再次重復此試驗 1000 次。這種分布如圖 4?所示。您是否已開始注意到所發(fā)生的情形中存在任何模式？

讓我們繼續(xù)增加平均投擲次數(shù)。此時您將投擲 10 次，并采用 10 次投擲的平均值。這種分布如圖 5?所示。

現(xiàn)在，隨著您增加投擲次數(shù)，將看到兩個現(xiàn)象。首先，您會看到，平均分布的形狀開始與正態(tài)分布的形狀相似。其次，您會看到，隨著投擲次數(shù)的增加，分布變得越來越窄。讓我們繼續(xù)增加投擲次數(shù)。此時，您將投擲骰子 20 次。這種分布如圖 6?所示。

到現(xiàn)在，您應該確信增大樣本數(shù)量對樣本平均值分布是有影響的。您將再次增大樣本數(shù)量，以強化這種認知。此時，您將投擲骰子 30 次。這種分布如圖 7?所示。

讓我們看看所呈現(xiàn)的情況，在一個圖中繪制大小為 2、5、10、20、30 的樣本的直方圖，以查看變化的分布。

從上面的模擬結果，可以知道，當樣本量大于30的時候，那么樣本均值（取了1000次樣本，得到1000個均值）的分布基本呈正態(tài)分布。

另外該定理還指出，如果根據(jù)總體不斷重復繪制隨機樣本數(shù)量 n 以及有限均值 mu(y) 和標準差 sigma(y)，然后在 n 較大時，樣本均值的分布將近似呈正態(tài)分布，并且均值等于 mu(y)，標準差等于 (sigma(y))/sqrt(n)。

審核編輯：符乾江