通過(guò)Python實(shí)現(xiàn)一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)例解析

有個(gè)事情可能會(huì)讓初學(xué)者驚訝：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型并不復(fù)雜！『神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)』這個(gè)詞讓人覺(jué)得很高大上，但實(shí)際上神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法要比人們想象的簡(jiǎn)單。

這篇文章完全是為新手準(zhǔn)備的。我們會(huì)通過(guò)用Python從頭實(shí)現(xiàn)一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的原理。本文的脈絡(luò)是：

介紹了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本結(jié)構(gòu)——神經(jīng)元；

在神經(jīng)元中使用S型激活函數(shù)；

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是連接在一起的神經(jīng)元；

構(gòu)建了一個(gè)數(shù)據(jù)集，輸入（或特征）是體重和身高，輸出（或標(biāo)簽）是性別；

學(xué)習(xí)了損失函數(shù)和均方差損失；

訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)就是最小化其損失；

用反向傳播方法計(jì)算偏導(dǎo)；

用隨機(jī)梯度下降法訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。 ?

磚塊：神經(jīng)元

首先讓我們看看神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本單位，神經(jīng)元。神經(jīng)元接受輸入，對(duì)其做一些數(shù)據(jù)操作，然后產(chǎn)生輸出。例如，這是一個(gè)2-輸入神經(jīng)元：

這里發(fā)生了三個(gè)事情。首先，每個(gè)輸入都跟一個(gè)權(quán)重相乘（紅色）：

然后，加權(quán)后的輸入求和，加上一個(gè)偏差b（綠色）：

最后，這個(gè)結(jié)果傳遞給一個(gè)激活函數(shù)f：

激活函數(shù)的用途是將一個(gè)無(wú)邊界的輸入，轉(zhuǎn)變成一個(gè)可預(yù)測(cè)的形式。常用的激活函數(shù)就就是S型函數(shù)：

S型函數(shù)的值域是(0, 1)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是把(?∞, +∞)壓縮到(0, 1) ，很大的負(fù)數(shù)約等于0，很大的正數(shù)約等于1。

一個(gè)簡(jiǎn)單的例子

假設(shè)我們有一個(gè)神經(jīng)元，激活函數(shù)就是S型函數(shù)，其參數(shù)如下：

就是以向量的形式表示?，F(xiàn)在，我們給這個(gè)神經(jīng)元一個(gè)輸入。我們用點(diǎn)積來(lái)表示：

當(dāng)輸入是[2, 3]時(shí)，這個(gè)神經(jīng)元的輸出是0.999。給定輸入，得到輸出的過(guò)程被稱(chēng)為前饋（feedforward）。

編碼一個(gè)神經(jīng)元

讓我們來(lái)實(shí)現(xiàn)一個(gè)神經(jīng)元！用Python的NumPy庫(kù)來(lái)完成其中的數(shù)學(xué)計(jì)算：

?

?

import?numpy?as?np

def?sigmoid(x):
??#?我們的激活函數(shù):?f(x)?=?1?/?(1?+?e^(-x))
??return?1?/?(1?+?np.exp(-x))

class?Neuron:
??def?__init__(self,?weights,?bias):
????self.weights?=?weights
????self.bias?=?bias

??def?feedforward(self,?inputs):
????#?加權(quán)輸入，加入偏置，然后使用激活函數(shù)
????total?=?np.dot(self.weights,?inputs)?+?self.bias
????return?sigmoid(total)

weights?=?np.array([0,?1])?#?w1?=?0,?w2?=?1
bias?=?4???????????????????#?b?=?4
n?=?Neuron(weights,?bias)

x?=?np.array([2,?3])???????#?x1?=?2,?x2?=?3
print(n.feedforward(x))????#?0.9990889488055994

?

?

還記得這個(gè)數(shù)字嗎？就是我們前面算出來(lái)的例子中的0.999。

把神經(jīng)元組裝成網(wǎng)絡(luò)

所謂的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是一堆神經(jīng)元。這就是一個(gè)簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

這個(gè)網(wǎng)絡(luò)有兩個(gè)輸入，一個(gè)有兩個(gè)神經(jīng)元（?和?）的隱藏層，以及一個(gè)有一個(gè)神經(jīng)元（?) ）的輸出層。要注意，?的輸入就是?和??的輸出，這樣就組成了一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。

隱藏層就是輸入層和輸出層之間的層，隱藏層可以是多層的。

例子：前饋

我們繼續(xù)用前面圖中的網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)每個(gè)神經(jīng)元的權(quán)重都是??，截距項(xiàng)也相同??，激活函數(shù)也都是S型函數(shù)。分別用?表示相應(yīng)的神經(jīng)元的輸出。

當(dāng)輸入??時(shí)，會(huì)得到什么結(jié)果？

這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入的輸出是0.7216，很簡(jiǎn)單。

一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)以及每一層中的神經(jīng)元數(shù)量都是任意的?；具壿嫸家粯樱狠斎朐谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)中向前傳輸，最終得到輸出。接下來(lái)，我們會(huì)繼續(xù)使用前面的這個(gè)網(wǎng)絡(luò)。

編碼神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：前饋

接下來(lái)我們實(shí)現(xiàn)這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前饋機(jī)制，還是這個(gè)圖：

?

?

import?numpy?as?np

#?...?code?from?previous?section?here

class?OurNeuralNetwork:
??'''
??A?neural?network?with:
????-?2?inputs
????-?a?hidden?layer?with?2?neurons?(h1,?h2)
????-?an?output?layer?with?1?neuron?(o1)
??Each?neuron?has?the?same?weights?and?bias:
????-?w?=?[0,?1]
????-?b?=?0
??'''
??def?__init__(self):
????weights?=?np.array([0,?1])
????bias?=?0

????#?這里是來(lái)自前一節(jié)的神經(jīng)元類(lèi)
????self.h1?=?Neuron(weights,?bias)
????self.h2?=?Neuron(weights,?bias)
????self.o1?=?Neuron(weights,?bias)

??def?feedforward(self,?x):
????out_h1?=?self.h1.feedforward(x)
????out_h2?=?self.h2.feedforward(x)

????#?o1的輸入是h1和h2的輸出
????out_o1?=?self.o1.feedforward(np.array([out_h1,?out_h2]))

????return?out_o1

network?=?OurNeuralNetwork()
x?=?np.array([2,?3])
print(network.feedforward(x))?#?0.7216325609518421

?

?

結(jié)果正確，看上去沒(méi)問(wèn)題。

訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 第一部分

現(xiàn)在有這樣的數(shù)據(jù)：

?

?

接下來(lái)我們用這個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和截距項(xiàng)，從而可以根據(jù)身高體重預(yù)測(cè)性別：

我們用0和1分別表示男性（M）和女性（F），并對(duì)數(shù)值做了轉(zhuǎn)化：

?

?

我這里是隨意選取了135和66來(lái)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，通常會(huì)使用平均值。

損失

在訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)之前，我們需要量化當(dāng)前的網(wǎng)絡(luò)是『好』還是『壞』，從而可以尋找更好的網(wǎng)絡(luò)。這就是定義損失的目的。

我們?cè)谶@里用平均方差（MSE）損失：?，讓我們仔細(xì)看看：

是樣品數(shù)，這里等于4（Alice、Bob、Charlie和Diana）。

表示要預(yù)測(cè)的變量，這里是性別。

是變量的真實(shí)值（『正確答案』）。例如，Alice的??就是1（男性)。

變量的預(yù)測(cè)值。這就是我們網(wǎng)絡(luò)的輸出。

被稱(chēng)為方差（squared error）。我們的損失函數(shù)就是所有方差的平均值。預(yù)測(cè)效果越好，損失就越少。

更好的預(yù)測(cè) = 更少的損失！

訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò) = 最小化它的損失。

損失計(jì)算例子

假設(shè)我們的網(wǎng)絡(luò)總是輸出0，換言之就是認(rèn)為所有人都是男性。損失如何？

?

?

代碼：MSE損失

下面是計(jì)算MSE損失的代碼：

?

?

import?numpy?as?np

def?mse_loss(y_true,?y_pred):
??#?y_true?and?y_pred?are?numpy?arrays?of?the?same?length.
??return?((y_true?-?y_pred)?**?2).mean()

y_true?=?np.array([1,?0,?0,?1])
y_pred?=?np.array([0,?0,?0,?0])

print(mse_loss(y_true,?y_pred))?#?0.5

?

?

如果你不理解這段代碼，可以看看NumPy的快速入門(mén)中關(guān)于數(shù)組的操作。

好的，繼續(xù)。

訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 第二部分

現(xiàn)在我們有了一個(gè)明確的目標(biāo)：最小化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失。通過(guò)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和截距項(xiàng)，我們可以改變其預(yù)測(cè)結(jié)果，但如何才能逐步地減少損失？

這一段內(nèi)容涉及到多元微積分，如果不熟悉微積分的話，可以跳過(guò)這些數(shù)學(xué)內(nèi)容。

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，假設(shè)我們的數(shù)據(jù)集中只有Alice：

假設(shè)我們的網(wǎng)絡(luò)總是輸出0，換言之就是認(rèn)為所有人都是男性。損失如何？

?

?

那均方差損失就只是Alice的方差：

也可以把損失看成是權(quán)重和截距項(xiàng)的函數(shù)。讓我們給網(wǎng)絡(luò)標(biāo)上權(quán)重和截距項(xiàng)：

這樣我們就可以把網(wǎng)絡(luò)的損失表示為：

假設(shè)我們要優(yōu)化??，當(dāng)我們改變??時(shí)，損失??會(huì)怎么變化？可以用??來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題，怎么計(jì)算？

接下來(lái)的數(shù)據(jù)稍微有點(diǎn)復(fù)雜，別擔(dān)心，準(zhǔn)備好紙和筆。

首先，讓我們用來(lái)改寫(xiě)這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：

因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道??，所以我們可以計(jì)算

現(xiàn)在讓我們來(lái)搞定??。分別是其所表示的神經(jīng)元的輸出，我們有：

由于??只會(huì)影響??（不會(huì)影響??)，所以：

對(duì)??，我們也可以這么做：

在這里，?是身高，?是體重。這是我們第二次看到??（S型函數(shù)的導(dǎo)數(shù))了。求解：

稍后我們會(huì)用到這個(gè)??。

我們已經(jīng)把?分解成了幾個(gè)我們能計(jì)算的部分：

這種計(jì)算偏導(dǎo)的方法叫『反向傳播算法』(backpropagation)。

好多數(shù)學(xué)符號(hào)，如果你還沒(méi)搞明白的話，我們來(lái)看一個(gè)實(shí)際例子。

例子：計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)

我們還是看數(shù)據(jù)集中只有Alice的情況：

?

?

把所有的權(quán)重和截距項(xiàng)都分別初始化為1和0。在網(wǎng)絡(luò)中做前饋計(jì)算：

網(wǎng)絡(luò)的輸出是??，對(duì)于Male(0)或者Female(1)都沒(méi)有太強(qiáng)的傾向性。算一下

提示：前面已經(jīng)得到了S型激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)??。

搞定！這個(gè)結(jié)果的意思就是增加也會(huì)隨之輕微上升。

訓(xùn)練：隨機(jī)梯度下降

現(xiàn)在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)萬(wàn)事俱備了！我們會(huì)使用名為隨機(jī)梯度下降法的優(yōu)化算法來(lái)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和截距項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)損失的最小化。核心就是這個(gè)更新等式：

是一個(gè)常數(shù)，被稱(chēng)為學(xué)習(xí)率，用于調(diào)整訓(xùn)練的速度。我們要做的就是用??減去

如果??是正數(shù)，??變小，?會(huì)下降。

如果???是負(fù)數(shù)，??會(huì)變大，??會(huì)上升。

如果我們對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)權(quán)重和截距項(xiàng)都這樣進(jìn)行優(yōu)化，損失就會(huì)不斷下降，網(wǎng)絡(luò)性能會(huì)不斷上升。

我們的訓(xùn)練過(guò)程是這樣的：

從我們的數(shù)據(jù)集中選擇一個(gè)樣本，用隨機(jī)梯度下降法進(jìn)行優(yōu)化——每次我們都只針對(duì)一個(gè)樣本進(jìn)行優(yōu)化；

計(jì)算每個(gè)權(quán)重或截距項(xiàng)對(duì)損失的偏導(dǎo)（例如?、?等)；

用更新等式更新每個(gè)權(quán)重和截距項(xiàng)；

重復(fù)第一步；

代碼：一個(gè)完整的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

我們終于可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)完整的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)了：

?

?

?

?

import?numpy?as?np

def?sigmoid(x):
??#?Sigmoid?activation?function:?f(x)?=?1?/?(1?+?e^(-x))
??return?1?/?(1?+?np.exp(-x))

def?deriv_sigmoid(x):
??#?Derivative?of?sigmoid:?f'(x)?=?f(x)?*?(1?-?f(x))
??fx?=?sigmoid(x)
??return?fx?*?(1?-?fx)

def?mse_loss(y_true,?y_pred):
??# y_true和y_pred是相同長(zhǎng)度的numpy數(shù)組。
??return?((y_true?-?y_pred)?**?2).mean()

class?OurNeuralNetwork:
??'''
??A?neural?network?with:
????-?2?inputs
????-?a?hidden?layer?with?2?neurons?(h1,?h2)
????-?an?output?layer?with?1?neuron?(o1)

??***?免責(zé)聲明?***:
????下面的代碼是為了簡(jiǎn)單和演示，而不是最佳的。
????真正的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代碼與此完全不同。不要使用此代碼。
????相反，讀/運(yùn)行它來(lái)理解這個(gè)特定的網(wǎng)絡(luò)是如何工作的。
??'''
??def?__init__(self):
????#?權(quán)重，Weights
????self.w1?=?np.random.normal()
????self.w2?=?np.random.normal()
????self.w3?=?np.random.normal()
????self.w4?=?np.random.normal()
????self.w5?=?np.random.normal()
????self.w6?=?np.random.normal()

????#?截距項(xiàng)，Biases
????self.b1?=?np.random.normal()
????self.b2?=?np.random.normal()
????self.b3?=?np.random.normal()

??def?feedforward(self,?x):
????# X是一個(gè)有2個(gè)元素的數(shù)字?jǐn)?shù)組。
????h1?=?sigmoid(self.w1?*?x[0]?+?self.w2?*?x[1]?+?self.b1)
????h2?=?sigmoid(self.w3?*?x[0]?+?self.w4?*?x[1]?+?self.b2)
????o1?=?sigmoid(self.w5?*?h1?+?self.w6?*?h2?+?self.b3)
????return?o1

??def?train(self,?data,?all_y_trues):
????'''
????-?data?is?a?(n?x?2)?numpy?array,?n?=?#?of?samples?in?the?dataset.
????-?all_y_trues?is?a?numpy?array?with?n?elements.
??????Elements?in?all_y_trues?correspond?to?those?in?data.
????'''
????learn_rate?=?0.1
????epochs?=?1000?#?遍歷整個(gè)數(shù)據(jù)集的次數(shù)

????for?epoch?in?range(epochs):
??????for?x,?y_true?in?zip(data,?all_y_trues):
????????#?---?做一個(gè)前饋(稍后我們將需要這些值)
????????sum_h1?=?self.w1?*?x[0]?+?self.w2?*?x[1]?+?self.b1
????????h1?=?sigmoid(sum_h1)

????????sum_h2?=?self.w3?*?x[0]?+?self.w4?*?x[1]?+?self.b2
????????h2?=?sigmoid(sum_h2)

????????sum_o1?=?self.w5?*?h1?+?self.w6?*?h2?+?self.b3
????????o1?=?sigmoid(sum_o1)
????????y_pred?=?o1

????????#?---?計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)。
????????#?---?Naming:?d_L_d_w1?represents?"partial?L?/?partial?w1"
????????d_L_d_ypred?=?-2?*?(y_true?-?y_pred)

????????#?Neuron?o1
????????d_ypred_d_w5?=?h1?*?deriv_sigmoid(sum_o1)
????????d_ypred_d_w6?=?h2?*?deriv_sigmoid(sum_o1)
????????d_ypred_d_b3?=?deriv_sigmoid(sum_o1)

????????d_ypred_d_h1?=?self.w5?*?deriv_sigmoid(sum_o1)
????????d_ypred_d_h2?=?self.w6?*?deriv_sigmoid(sum_o1)

????????#?Neuron?h1
????????d_h1_d_w1?=?x[0]?*?deriv_sigmoid(sum_h1)
????????d_h1_d_w2?=?x[1]?*?deriv_sigmoid(sum_h1)
????????d_h1_d_b1?=?deriv_sigmoid(sum_h1)

????????#?Neuron?h2
????????d_h2_d_w3?=?x[0]?*?deriv_sigmoid(sum_h2)
????????d_h2_d_w4?=?x[1]?*?deriv_sigmoid(sum_h2)
????????d_h2_d_b2?=?deriv_sigmoid(sum_h2)

????????#?---?更新權(quán)重和偏差
????????#?Neuron?h1
????????self.w1?-=?learn_rate?*?d_L_d_ypred?*?d_ypred_d_h1?*?d_h1_d_w1
????????self.w2?-=?learn_rate?*?d_L_d_ypred?*?d_ypred_d_h1?*?d_h1_d_w2
????????self.b1?-=?learn_rate?*?d_L_d_ypred?*?d_ypred_d_h1?*?d_h1_d_b1

????????#?Neuron?h2
????????self.w3?-=?learn_rate?*?d_L_d_ypred?*?d_ypred_d_h2?*?d_h2_d_w3
????????self.w4?-=?learn_rate?*?d_L_d_ypred?*?d_ypred_d_h2?*?d_h2_d_w4
????????self.b2?-=?learn_rate?*?d_L_d_ypred?*?d_ypred_d_h2?*?d_h2_d_b2

????????#?Neuron?o1
????????self.w5?-=?learn_rate?*?d_L_d_ypred?*?d_ypred_d_w5
????????self.w6?-=?learn_rate?*?d_L_d_ypred?*?d_ypred_d_w6
????????self.b3?-=?learn_rate?*?d_L_d_ypred?*?d_ypred_d_b3

??????#?---?在每次epoch結(jié)束時(shí)計(jì)算總損失?
??????if?epoch?%?10?==?0:
????????y_preds?=?np.apply_along_axis(self.feedforward,?1,?data)
????????loss?=?mse_loss(all_y_trues,?y_preds)
????????print("Epoch?%d?loss:?%.3f"?%?(epoch,?loss))

#?定義數(shù)據(jù)集
data?=?np.array([
??[-2,?-1],??#?Alice
??[25,?6],???#?Bob
??[17,?4],???#?Charlie
??[-15,?-6],?#?Diana
])
all_y_trues?=?np.array([
??1,?#?Alice
??0,?#?Bob
??0,?#?Charlie
??1,?#?Diana
])

#?訓(xùn)練我們的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)!
network?=?OurNeuralNetwork()
network.train(data,?all_y_trues)

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?

隨著網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)，損失在穩(wěn)步下降。

現(xiàn)在我們可以用這個(gè)網(wǎng)絡(luò)來(lái)預(yù)測(cè)性別了：

?

?

#?做一些預(yù)測(cè)
emily?=?np.array([-7,?-3])?#?128?磅,?63?英寸
frank?=?np.array([20,?2])??#?155?磅,?68?英寸
print("Emily:?%.3f"?%?network.feedforward(emily))?#?0.951?-?F
print("Frank:?%.3f"?%?network.feedforward(frank))?#?0.039?-?M

?

?

接下來(lái)？

搞定了一個(gè)簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，快速回顧一下：

介紹了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本結(jié)構(gòu)——神經(jīng)元；

在神經(jīng)元中使用S型激活函數(shù)；

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是連接在一起的神經(jīng)元；

構(gòu)建了一個(gè)數(shù)據(jù)集，輸入（或特征）是體重和身高，輸出（或標(biāo)簽）是性別；

學(xué)習(xí)了損失函數(shù)和均方差損失；

訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)就是最小化其損失；

用反向傳播方法計(jì)算偏導(dǎo)；

用隨機(jī)梯度下降法訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)；

接下來(lái)你還可以：

用機(jī)器學(xué)習(xí)庫(kù)實(shí)現(xiàn)更大更好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，例如TensorFlow、Keras和PyTorch；

其他類(lèi)型的激活函數(shù)；

其他類(lèi)型的優(yōu)化器；

學(xué)習(xí)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這給計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域帶來(lái)了革命； 學(xué)習(xí)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，常用于自然語(yǔ)言處理；

作者：Victor Zhou?

編輯：黃飛