卡曼濾波器入門教程α?β?γ濾波器 1

?在前面兩篇文章中我們已經簡單介紹了卡曼濾波以及所涉及的數(shù)學基礎，今天讓我們通過幾個例子來進一步認識卡曼濾波器。

示例1：黃金稱重

????現(xiàn)在我們準備好了第一個簡單的例子，在本例中，我們估計靜態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)，靜態(tài)系統(tǒng)是一個在合理時間段內不會改變其狀態(tài)的系統(tǒng)，例如，一座塔可以是靜態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)可以是它的高度。

????在這個例子中，我們來估計金條的重量，假設我們的天平秤是無偏差的，即重量的測量沒有系統(tǒng)誤差，但測量可能包含隨機噪聲。

?

????在這個例子中，系統(tǒng)是金條，系統(tǒng)的狀態(tài)是金條的重量，系統(tǒng)的動態(tài)模型是不變的，因為我們假設重量在短時間內不會改變。

為了估計系統(tǒng)的狀態(tài)（即重量），我們可以進行多次測量并取其平均值

?

在第n時刻，估計

將是所有先前測量的平均值：

Example Notation:

?

注意: 變量上的插入符號（或帽子）表示估計值。

?

在本例中，因為系統(tǒng)是恒定不變的，所以

=

????盡管上面的等式在數(shù)學上是正確的，但在現(xiàn)實中并不適用，為了估計

，我們需要記住所有的歷史測量值；因此，我們需要一個大內存，如果我們想在每次新的測量后更新估計值，我們還需要重復計算平均值，因此，我們需要一個更強大的CPU。

????實際的做法是：僅保留最后的估計值（

?

） 并在每次獲取新測量值后進行更新，我們可以用一個小小的數(shù)學技巧做到這一點：

?

是在n-1時刻對于x的估計，并且基于n-1時刻的測量值。

讓我們基于

（對于x在時間n?1的估計)找到

（對于x在時間n的預測值），換句話說，我們想根據(jù)

推斷得到時間n的狀態(tài)。

由于本例中的動態(tài)模型是靜態(tài)的，即金條的重量不會隨時間變化，因此x的預測狀態(tài)等于x的估計狀態(tài)：

=

基于上述，當前狀態(tài)

的估計值可以寫為：

上述方程是五個卡爾曼濾波方程之一，它被稱為狀態(tài)更新方程。這意味著：

????因子1/n只適用于該示例，稍后我將討論這個因素的重要作用，但現(xiàn)在，我先透漏個消息：在卡爾曼濾波器中，這個因素被稱為卡爾曼增益，用Kn表示，下標n意味著卡爾曼增益可以隨每次迭代而變化。

Kn的發(fā)現(xiàn)是魯?shù)婪颉た柭闹匾暙I之一。

在我們深入卡爾曼濾波器之前，我們使用希臘字母αn代替Kn，因此，狀態(tài)更新方程如下所示：

（Zn-Xn,n-1）項 代表“測量殘差”，也稱為革新，這項革新包含了新的信息。

????在本例中，1/n隨著n的增加而減小，一開始，關于當前狀態(tài)，我們沒有足夠的的信息；因此，第一次估計很大程度上是基于第一次測量

，隨著我們繼續(xù)，由于1/n減小，后續(xù)每個測量值在估計過程中的權重越來越小，在某個時刻，新測量的貢獻將變得微不足道。

????讓我們繼續(xù)這個例子，在我們進行第一次測量之前，我們可以通過閱讀金條上的印記來猜測（或粗略估計）金條的重量，這被稱為初始猜測，這是我們的第一次估計。

這可能非常粗糙，但沒關系，卡爾曼濾波器需要初始猜測作為預設。

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