示例6–估計(jì)儲(chǔ)罐中液體的溫度
我們想估計(jì)儲(chǔ)罐中液體的溫度:
我們假設(shè)在穩(wěn)定狀態(tài)下,液體溫度是恒定的,然而,真實(shí)液體溫度是存在一些波動(dòng)的,我們可以用以下方程描述該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài):
xn=T+wn
T是恒定溫度wn是具有方差q的隨機(jī)過程噪聲
數(shù)值示例:
假設(shè)真實(shí)溫度為50攝氏度我們假設(shè)模型是準(zhǔn)確的,因此,我們將過程噪聲方差(q)設(shè)置為0.0001測(cè)量誤差(標(biāo)準(zhǔn)偏差)為0.1攝氏度。每5秒測(cè)量一次。每個(gè)測(cè)量點(diǎn)對(duì)應(yīng)的真實(shí)液體溫度值為:49.979℃、50.025℃、50℃、50.003℃、49.994℃、50.002℃、4.9.999℃、50.006℃、49.998℃和49.991℃。測(cè)量值為:49.95℃、49.967℃、50.1℃、50.106℃、49992℃、49.819℃、49933℃、50.007℃、50.023℃和49.99℃。下表對(duì)真實(shí)液體溫度和測(cè)量值進(jìn)行了比較:
迭代0
在第一次迭代之前,我們必須初始化卡爾曼濾波器并預(yù)測(cè)下一個(gè)狀態(tài)(即第一個(gè)狀態(tài))。
初始化
我們不知道儲(chǔ)罐中液體的真實(shí)溫度,我們的猜測(cè)是10℃
=10
℃我們的猜測(cè)很不精確,因此我們將初始化估計(jì)誤差σ設(shè)置為100,初始化的估計(jì)不確定度是誤差方差(σ2):
p0,0=1002=10,000
方差非常大,如果我們用一個(gè)更有意義的初始化值,我們能夠讓卡爾曼濾波器更快地收斂。
預(yù)測(cè)
現(xiàn)在,我們將根據(jù)初始化值預(yù)測(cè)下一個(gè)狀態(tài),由于我們的模型是恒定的,預(yù)測(cè)的估計(jì)值等于當(dāng)前的估計(jì)值:
=10
℃推導(dǎo)估計(jì)不確定度(方差):
p1,0=p0,0+q=10000+0.0001=10000.0001
迭代1步驟1-測(cè)量測(cè)量值是:
z1= 49.95
℃由于測(cè)量誤差為0.1(σ),方差(σ2)為0.01;因此,測(cè)量不確定度為:
r1=0.01
步驟2-更新
計(jì)算卡曼增益:
卡爾曼增益幾乎為1,即我們的估計(jì)誤差遠(yuǎn)大于測(cè)量誤差,因此,估計(jì)的權(quán)重可以忽略不計(jì),而測(cè)量權(quán)重幾乎為1。估計(jì)當(dāng)前狀態(tài):
更新當(dāng)前估計(jì)的不確定度:
步驟3-預(yù)測(cè)
由于我們系統(tǒng)是恒定的,即液體溫度不變:
℃推導(dǎo)估計(jì)不確定值(方差)為:
p2,1=p1,1+q=0.01+0.0001=0.0101
迭代2步驟1-測(cè)量
測(cè)量值:
z2= 49.967
℃由于測(cè)量誤差為0.1(σ),方差(σ2)為0.01;因此,測(cè)量不確定度為:
r2=0.01
步驟2-更新
計(jì)算卡曼增益:
卡爾曼增益為0.5,即,估計(jì)權(quán)重和測(cè)量權(quán)重相等。估計(jì)當(dāng)前狀態(tài):
更新當(dāng)前估計(jì)的不確定性:
步驟3-預(yù)測(cè)
由于我們系統(tǒng)是恒定的,即液體溫度不變:
℃推導(dǎo)估計(jì)不確定度(方差)為:
P3,3=p2,2+q= 0.005+0.0001=0.0051
迭代3-10
下表總結(jié)了連續(xù)迭代的計(jì)算:
下表對(duì)真實(shí)值、測(cè)量值和估計(jì)值進(jìn)行了比較:
如圖所見,估計(jì)值向真實(shí)值收斂,下表顯示了估計(jì)的不確定性:
估計(jì)的不確定度迅速下降,10次測(cè)量后,估計(jì)不確定度(σ2)為0.0013,即估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)偏差為:σ=0.036℃。因此,我們可以說液體溫度估計(jì)值為:49.988±0.036℃
正如你所看到的,卡爾曼增益正在逐步下降,使得測(cè)量重量越來越小。
總結(jié):
在本例中,我們使用一維卡爾曼濾波器測(cè)量液體溫度,盡管系統(tǒng)包括隨機(jī)過程噪聲,但卡爾曼濾波器可以提供良好的估計(jì)。
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卡爾曼濾波器
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關(guān)注
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