卡曼濾波器入門教程α?β?γ濾波器 3

現(xiàn)在我們準(zhǔn)備開始一個(gè)數(shù)值示例：

考慮一架飛機(jī)在一維世界中徑向遠(yuǎn)離雷達(dá)（或朝向雷達(dá)）

α?β濾波器參數(shù)為：

α=0.2

β=0.1

跟蹤周期為5秒

迭代0：

初始化：

時(shí)間n=0的初始條件：

注意: 跟蹤初始化（或我們?nèi)绾潍@得初始條件）是稍后將討論的一個(gè)重要主題?，F(xiàn)在，我們的目標(biāo)是了解基本的α?β濾波器操作，所以讓我們假設(shè)初始條件是由其他系統(tǒng)給出的。

預(yù)測(cè)：

應(yīng)使用狀態(tài)推導(dǎo)方程猜測(cè)第一個(gè)周期（n=1）狀態(tài)：

迭代1：

在第一個(gè)周期（n=1）中，初始猜測(cè)是先前的估計(jì)：

步驟1：

雷達(dá)測(cè)量飛機(jī)航程：

z1=30110m

步驟2：

使用狀態(tài)更新方程計(jì)算當(dāng)前估計(jì)：

步驟3：

使用狀態(tài)推導(dǎo)方程計(jì)算下一狀態(tài)估計(jì)：

迭代2：

經(jīng)過一個(gè)完整的周期后，來自上一次迭代的預(yù)測(cè)估計(jì)變?yōu)楫?dāng)前迭代中的上一次估計(jì)：

步驟1：

雷達(dá)測(cè)量飛機(jī)航程：

z2=30265m

步驟2：

使用狀態(tài)更新方程計(jì)算當(dāng)前估計(jì)：

步驟3：

使用狀態(tài)推導(dǎo)方程計(jì)算下一狀態(tài)估計(jì)：

迭代3：

迭代4：

下表總結(jié)了我們的測(cè)量和估計(jì)：

我們的估計(jì)算法對(duì)測(cè)量結(jié)果具有平滑效果，并向真實(shí)值收斂。

使用大的α和β：

下圖描述了當(dāng)α=0.8和β=0.5的真實(shí)值、測(cè)量值和估計(jì)值：

此過濾器的“平滑”程度要低得多，雖然估計(jì)值與測(cè)量值非常接近，但與真實(shí)值誤差很大，估計(jì)誤差非常高。

那么，我們應(yīng)該總是選擇小的α和β值嗎？

答案是否定的，α和β的值應(yīng)取決于測(cè)量精度，如果我們使用高精度設(shè)備，如激光雷達(dá)，我們會(huì)更喜歡更大的α和β值，在這種情況下，濾波器將快速響應(yīng)目標(biāo)的速度變化，另一方面，如果測(cè)量精度低，我們更喜歡低α和β，在這種情況下，濾波器平滑了測(cè)量中的不確定性（誤差），然而，過濾器對(duì)目標(biāo)速度變化的反應(yīng)將慢得多。

總結(jié)：

我們推導(dǎo)出了α?β濾波器狀態(tài)更新方程，我們還學(xué)習(xí)了狀態(tài)推導(dǎo)方程，我們開發(fā)了一種基于α?β濾波，并求解了一個(gè)等速目標(biāo)的數(shù)值示例。

示例3：追蹤一維世界中加速飛行器

在這個(gè)例子中，我們將使用 α?β濾波器追蹤一個(gè)具有恒定加速度的飛行器，在前面的例子中，我們跟蹤了一架以40m/s的恒定速度移動(dòng)的無人機(jī)。下表描述了目標(biāo)距離和速度與時(shí)間的關(guān)系。

如圖所見，航程函數(shù)是線性的。

現(xiàn)在讓我們來看看一架戰(zhàn)斗機(jī)。這架飛機(jī)以50m/s的恒定速度飛行15秒。然后飛機(jī)以8m/s2的恒定加速度加速35秒。

從圖表中可以看到，飛機(jī)速度在前15秒保持恒定，然后呈線性增長。航程在前15秒呈線性增長，然后呈二次曲線增長。

我們要用前面例子中使用的α?β過濾器來追蹤這架戰(zhàn)斗機(jī)。

數(shù)值示例：

考慮一架飛機(jī)在一維世界中徑向朝向（或遠(yuǎn)離）雷達(dá)。

α?β濾波器參數(shù)為：

α=0.2

β=0.1

追蹤周期5秒

迭代0：

初始化：

給出了時(shí)間n=0的初始條件：

注意: 跟蹤初始化（或我們?nèi)绾潍@得初始條件）是稍后將討論的一個(gè)重要主題?，F(xiàn)在，我們的目標(biāo)是了解基本的α?β濾波器操作，所以讓我們假設(shè)初始條件是由其他系統(tǒng)給出的。

預(yù)測(cè)：

應(yīng)使用狀態(tài)推導(dǎo)方程對(duì)第一個(gè)周期（n=1）狀態(tài)進(jìn)行推導(dǎo)：

下表列出了所有過濾器迭代結(jié)果：

以下圖表比較了前75秒的距離和速度的真實(shí)值、測(cè)量值和估計(jì)值：

您可以看到真實(shí)值或測(cè)量值與估計(jì)值之間的存在恒定差距，這種差距稱為滯后誤差。滯后誤差的其他常見名稱為：

l動(dòng)態(tài)錯(cuò)誤

l系統(tǒng)誤差

l偏差誤差

l截?cái)噱e(cuò)誤

滯后誤差出現(xiàn)在加速期間，在加速期之后，過濾器縮小差距并向真實(shí)值收斂，然而，顯著的滯后誤差可能導(dǎo)致目標(biāo)丟失，滯后誤差在某些應(yīng)用中是不可接受的，例如導(dǎo)彈制導(dǎo)或防空。

總結(jié)：

我們研究了恒定加速度引起的滯后誤差。