非正弦周期信號的傅里葉級數(shù)分解

前面章節(jié)中已對直流電路與正弦交流電路的分析計(jì)算方法作了詳細(xì)介紹，當(dāng)電路的激勵源為直流或正弦交流電源時，可用所述方法對電路進(jìn)行分析計(jì)算。但是在實(shí)際電氣系統(tǒng)中，卻經(jīng)常會遇到非正弦的激勵源問題，例如電力系統(tǒng)的交流發(fā)電機(jī)所產(chǎn)生的電動勢，其波形并非理想的正弦曲線，而是接近正弦波的周期性波形。即使是正弦激勵源電路，若電路中存在非線性器件時，也會產(chǎn)生非正弦的響應(yīng)。在電子通信工程中，遇到的電信號大都為非正弦量，如常見的方波、三角波、脈沖波等，有些電信號甚至是非周期性的。

對于線性電路，周期性非正弦信號可以利用傅里葉級數(shù)展開把它分解為一系列不同頻率的正弦分量，然后用正弦交流電路相量分析方法，分別對不同頻率的正弦量單獨(dú)作用下的電路進(jìn)行計(jì)算，再由線性電路的疊加定理，把各分量疊加，得到非正弦周期信號激勵下的響應(yīng)。這種將非正弦激勵分解為一系列不同頻率正弦量的分析方法稱為諧波分析法。

設(shè)周期函數(shù)的周期為T，則有：

?? （k為任意整數(shù)）

如果函數(shù)滿足狄里赫利條件，那么它就可以分解成為傅里葉級數(shù)。一般電工技術(shù)中所涉及的周期函數(shù)通常都能滿足狄里赫利條件，能展開為傅里葉級數(shù)，在后面討論中均忽略這一問題。

對于上述周期函數(shù)，可表示成傅里葉級數(shù)：

????? ??????（6-1-1）

或? ???????????????（6-1-2）

式中，稱為基波角頻率；二式中系數(shù)之間有關(guān)系式：

或 ??????????????????????????（6-1-3）

展開式中除第一項(xiàng)外,每一項(xiàng)都是不同頻率的正弦量，稱為周期函數(shù)的直流分量（恒定分量），第二項(xiàng)稱為基波分量，基波角頻率，其變化周期與原函數(shù)周期相同，其余各項(xiàng)（的項(xiàng)）統(tǒng)稱為高次諧波。高次諧波分量的頻率是基波頻率的整數(shù)倍。當(dāng)時稱為二次諧波，時稱為三次諧波等等。是第n次諧波的初相角。

當(dāng)已知時，傅里葉級數(shù)表達(dá)式中各諧波分量的系數(shù)可由下面公式求得：

???????? （6-1-4）

下面用一個具體例子來進(jìn)行傅里葉分解。

例6-1-1?? 圖6-1-1所示為對稱方波電壓，其表達(dá)式可寫為：

求此信號的傅里葉級數(shù)展開式。

圖 6-1-1

解：根據(jù)傅里葉級數(shù)的系數(shù)推導(dǎo)公式，可得

?

?

由此可得所求信號的傅里葉級數(shù)展開式為

在實(shí)際工程計(jì)算中，由于傅里葉級數(shù)展開為無窮級數(shù)，因此要根據(jù)級數(shù)展開后的收斂情況，電路頻率特性及精度要求，來確定所取的項(xiàng)數(shù)。一般只要取前面幾項(xiàng)主要諧波分量即可。例如對于上述方波展開的傅里葉級數(shù)表達(dá)式，當(dāng)取不同項(xiàng)數(shù)合成時，其合成波形畫于圖6-1-2中。由圖可見，當(dāng)取諧波項(xiàng)數(shù)越多時，合成波形就越接近于原來的理想方波，與原波形偏差越小。

圖 6-1-2

在對一些非正弦周期信號展開時，可根據(jù)函數(shù)的對稱性質(zhì)來確定展開式中的系數(shù)變化情況。如果函數(shù)為偶函數(shù)，，波形對稱于Y軸（見圖6-1-3a），此時它的傅里葉級數(shù)展開式中不存在項(xiàng)諧波，即有，此項(xiàng)不必計(jì)算。如果函數(shù)為奇函數(shù)，即有，波形對稱于原點(diǎn)（見圖6-1-3b），它的傅里葉級數(shù)中不包含項(xiàng)諧波與直流分量，即有，。如果函數(shù)滿足，即將波形移動半個周期后與原波形對稱于X軸（見圖6-1-3c），則其傅里葉級數(shù)展開后不包含偶次諧波分量，即有。關(guān)于傅里葉級數(shù)的詳細(xì)討論可參見有關(guān)書籍。

?

圖 6-1-3

非正弦周期信號除了可以表示成上述三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式外，還可表示成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)形式。已知函數(shù)可展開成傅里葉級數(shù)

利用歐拉公式

可得：

因?yàn)?SUB>對于變量n為奇函數(shù)，故有：

同時當(dāng)時，因此可以把表達(dá)式中的各項(xiàng)統(tǒng)一表達(dá)為：

??????? （6-1-5）

上式就是傅里葉級數(shù)復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式，它把一個周期信號表示成一系列以為指數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)式，式中：

?????????????? （6-1-6）

系數(shù)a_n、b_n與傅里葉三角展開式中的系數(shù)一致。可由下式直接求出：

或 ??????????????（6-1-8）

為函數(shù)，它代表了信號中各諧波分量的所有信息。的模為對應(yīng)諧波分量的幅值的一半，而的幅角（當(dāng)n取正值時）則為對應(yīng)諧波分量的初相角。它是一個已知信號的頻域表達(dá)式，與信號的時域表達(dá)式是完全等價的。稱為給定信號的頻譜函數(shù)。幅值隨變化的關(guān)系稱為振幅頻譜，的相位隨變化的關(guān)系稱為相位頻譜。由于系數(shù)，，因此振幅頻譜為偶函數(shù)，而相位頻譜則為奇函數(shù)。信號所包含的各諧波幅值與相位可用幅頻特性和相頻特性圖來直觀表示。

例6-1-2?? 周期脈沖信號如圖6-1-4a所示，求該信號的頻譜函數(shù)，并作振幅頻譜和相位頻譜圖。

解：由波形圖可知：

頻譜函數(shù)為：

_{?????????????????????????????????????????????????????} ??????????????（6-1-9）

若，則可得：

由上式可作出振幅頻譜與相位頻譜圖，如圖6-1-4b、c所示。

?

圖 6-1-4

從振幅頻譜圖可看出，周期信號的頻譜圖是一系列離散的譜線組成的，所有譜線都出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上。周期信號的這種頻譜稱為離散頻譜。

從頻譜函數(shù)表達(dá)式中可看出，當(dāng)脈沖重復(fù)周期增大時，基波頻率將變小，譜線之間的間隔縮小，同時振幅也隨之減小。當(dāng)T無限增大時，譜線將趨于無限密集，即從離散趨于連續(xù)，而幅值卻趨于無窮小，這時周期信號也已轉(zhuǎn)化為非周期信號。