割集矩陣與節(jié)點(diǎn)電流定律

割集電壓法分析電路問(wèn)題可以看作是節(jié)點(diǎn)法的一種推廣。第一章已介紹過(guò)割集的定義、基本概念和初步應(yīng)用。割集與支路之間的聯(lián)系可以用一個(gè)矩陣來(lái)描述。矩陣的行號(hào)對(duì)應(yīng)著割集號(hào)，矩陣的列號(hào)對(duì)應(yīng)于支路，矩陣中的元素作如下定義：

???? （7-4-1）

這樣建立的矩陣稱為割集矩陣。通常對(duì)于一定的電路，可以選擇許多不同的割集。但在用割集電壓法解題時(shí)，只有一組獨(dú)立的割集電壓方程才有意義。因此，與選擇獨(dú)立回路相類似，實(shí)際應(yīng)用中往往選擇單樹(shù)支割集作為一組獨(dú)立的割集。當(dāng)選用單樹(shù)支割集時(shí)，這樣建立的割集矩陣稱為基本割集矩陣，記作。為階矩陣。

對(duì)于圖7-4-1所示的網(wǎng)絡(luò)，若選擇1、2、3支路為樹(shù)，單樹(shù)支割集及方向如圖示，可寫出其基本割集矩陣為：

上式右半部分為一單位矩陣。一般當(dāng)支路編號(hào)嚴(yán)格按照先樹(shù)支后連支編號(hào)且順次列寫，割集方向取樹(shù)支方向時(shí)，中對(duì)應(yīng)樹(shù)支元素的子矩陣必是一個(gè)階單位矩陣，可表示為：

???? （7-4-2）

式中表示由連支元素組成的割集子矩陣。

圖 7-4-1

?

割集可以看成是一個(gè)廣義的節(jié)點(diǎn)。由割集矩陣中元素的定義可知，割集矩陣的每一行元素反映了穿過(guò)該割集表面的所有支路及其方向。若用左乘支路電流列向量，則其乘積的每一行之和恰為穿過(guò)該割集表面的支路電流的代數(shù)和。由基爾霍夫定律可知，任一廣義節(jié)點(diǎn)（割集包圍的部分）的電流代數(shù)和恒為零，因此與支路電流列向量之積為零向量，即有：

? （7-4-3） 或 ???（7-4-4）

上式是廣義節(jié)點(diǎn)的基爾霍夫電流定律的矩陣形式。

對(duì)于圖7-4-1所示的網(wǎng)絡(luò)，其支路電流列向量為，前面已寫出其基本割集矩陣。用左乘，可得：

在用割集電壓法分析網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題時(shí)，割集電壓作為一組獨(dú)立變量。若選擇單樹(shù)支割集為基本割集，則割集電壓即為樹(shù)支電壓，即有。類似于節(jié)點(diǎn)電位與支路電壓之間的關(guān)系，若用割集矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣左乘割集電壓列向量，其乘積為支路電壓列向量u，即有：

???? （7-4-5）

此式反映了割集電壓與支路電壓之間的關(guān)系。例如對(duì)于圖7-4-1所示的網(wǎng)絡(luò)，選單樹(shù)支割集為基本割集，則割集電壓列向量即為樹(shù)支電壓：

用左乘，可得：