高階技能學(xué)習(xí)，傅立葉變換的簡易指南

　　關(guān)于傅立葉變換，無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解，對于這個(gè)有史以來最重要的發(fā)現(xiàn)之一。如何才能更輕易地理解這個(gè)公式呢？

　　

　　

　　那么。拋開枯燥難懂的數(shù)學(xué)符號(hào)，讓我們用一種新方法來試著理解。這是一個(gè)純中文的闡述：

　　傅立葉變換有什么用？拿一杯思暮雪，用它能找出配方。

　　該怎么做呢？把思暮雪放進(jìn)過濾器（濾波器），然后萃取每一種成分。

　　為什么呢？因?yàn)榕浞奖人寄貉┍旧砀菀子脕矸治?、比較和定義。

　　我們怎么能拿回原本的思暮雪呢？混合所有的成分。

　　然后，類似于“數(shù)學(xué)-中文”模式：

　　基于時(shí)域的傅立葉變換會(huì)檢測每一種“周期成分”（周期長度，補(bǔ)償，和轉(zhuǎn)速），返回完成的“周期配方”（頻率圖譜）

　　現(xiàn)在要上公式了？當(dāng)然不是！讓我們自己動(dòng)手，進(jìn)行一次生動(dòng)的模擬。

　　要是一切順利的話，你會(huì)驚奇的發(fā)現(xiàn)，你已經(jīng)直觀的明白了為什么傅立葉變換能夠?qū)崿F(xiàn)。我們用下列步驟替代了所有的數(shù)學(xué)分析。

　　這并不是一次緊張的實(shí)驗(yàn)，而是一次舒心的體驗(yàn)。讓我們開始吧！

　　由思暮雪得到配方

　　數(shù)學(xué)變換的實(shí)質(zhì)是變量關(guān)系的改變。根據(jù)所算之物，把我們對數(shù)量的認(rèn)知從“單一物體”（沙里的線條，計(jì)數(shù)系統(tǒng)）變成“許多10”（小數(shù)）。游戲得分？繼續(xù)計(jì)數(shù)。乘法？拜托，是小數(shù)。

　　傅立葉變換把我們的視角由消費(fèi)者變成了生產(chǎn)者，從“我看到了什么？”變成“這是怎么發(fā)生的？”。

　　換句話說：拿一個(gè)思暮雪，我們要找出它的配方。

　　為什么呢？好吧，配方是飲料的最佳描述。你并不會(huì)跟人一滴一滴分析飲料，只會(huì)說“我有一杯橘子或是香蕉思暮雪”。配方比事物本身更易于歸類、比對和定義。

　　那么……拿一杯思暮雪，到底怎么找到配方呢？

　　

　　嗯，想象一下你周圍有很多過濾器（濾波器）：

　　把思暮雪倒進(jìn)“香蕉”過濾器（濾波器）里。提取出了1盎司香蕉。

　　倒進(jìn)“橘子”過濾器（濾波器）里。提取出了2盎司橘子。

　　倒進(jìn)“牛奶”過濾器（濾波器）里。提取出了3盎司牛奶。

　　倒進(jìn)“水”過濾器（濾波器）里。提取出了3盎司水。

　　我們可以通過混合每種成分得到原先的思暮雪。懂了么？

　　過濾器（濾波器）必須是相互獨(dú)立的。香蕉過濾器（濾波器）只濾出香蕉，沒有其它的任何成分。再多的橘子也不能影響香蕉的讀數(shù)。

　　過濾（濾波）必須是徹底的。如果我們遺漏了一個(gè)過濾器（濾波器），就永遠(yuǎn)也得不到真正的配方（天哪！那還有個(gè)芒果過濾器（濾波器）?。?。我們的過濾器（濾波器）必須能確定每種成分的含量。

　　不同成分之間必須是可合成的。思暮雪必須能被分離并重制（餅干？沒那么夸張。誰有想要一堆碎屑呢？）。不同成分在分離和結(jié)合的時(shí)候必須是線性的。

　　周期看世界

　　傅立葉變換持有一種特別的觀點(diǎn)：要是每一種信號(hào)都是周期性的呢（周期性重復(fù)）？

　　哇塞。這個(gè)假設(shè)太讓人著迷了，可憐的約瑟夫·傅立葉首先提出了這個(gè)假設(shè)。（現(xiàn)實(shí)里約瑟夫，樓梯能做成環(huán)狀的么？）

　　忽略數(shù)學(xué)界持續(xù)數(shù)十年的爭論，我們希望學(xué)生們可以直觀的理解這個(gè)概念。額……讓我們略過直觀的部分。

　　就像我們分析思暮雪成分一樣，傅立葉變換可以分析出信號(hào)的成分：

　　開始時(shí)，是一個(gè)時(shí)域信號(hào)

　　用濾波器來測定每種可能的“周期信號(hào)成分”

　　完整的“配方”需要列出所有的“周期信號(hào)成分”的數(shù)值

　　完成。這就是大部分教程要教給你的東西。別被嚇到了；想想這個(gè)例子“天哪，過五關(guān)斬六將，我們終于得到源代碼（DNA）了”。

　　要是地震波（不同強(qiáng)度和速度的震動(dòng)）能被分離成幾種成分，建筑就能被設(shè)計(jì)成免于地震威脅的高強(qiáng)度結(jié)構(gòu)。

　　要是聲波（高低不同的頻率）能被分成幾種成分，我們就能增強(qiáng)想要的部分，削弱不想要的部分。隨機(jī)噪聲引起的噼啪聲可以被濾除。相似的“聲譜”可以被比對（音樂識(shí)別服務(wù)比對的是聲譜而不是原始音頻）。

　　要是電腦數(shù)據(jù)能被周期性的描述，那些不重要的信息就能被濾除。這種“有損壓縮”可以急劇減小文件的大?。ㄟ@就是為什么JPEG和MP3文件要比原始的.bmp或.wav文件要小得多的原因）。

　　要是我們的信號(hào)是無線電波，我們可以通過濾波器來聽確定的頻段。在思暮雪的世界里，想象每個(gè)人都注意著不同的成分：亞當(dāng)在尋找蘋果，鮑勃在尋找香蕉，查理想要花椰菜（兄弟，對不住了）。

　　傅立葉變換在工程領(lǐng)域運(yùn)用廣泛，但事實(shí)上，它是個(gè)尋找現(xiàn)象根源的象征。

　　多想想周期信號(hào)，而不是正弦曲線

　　我最大的困惑在于“正弦曲線”和“周期信號(hào)”的定義區(qū)分。

　　“正弦曲線”意味一種往復(fù)運(yùn)動(dòng)模式（正弦或余弦函數(shù)）。在99%的場合里，指的都是發(fā)生在象限里的運(yùn)動(dòng)

　　周期信號(hào)是一種環(huán)形，包括兩個(gè)D形圖案的模式。要你愿意用10塊錢的話來描述10分錢的主意，你可以把一個(gè)圓形路徑稱作一個(gè)“完整正弦曲線”。

　　把一個(gè)周期的路徑稱作一個(gè)“完整正弦曲線”，就像你把一個(gè)諺語叫做“漢字的集合”。你選擇了錯(cuò)誤的細(xì)節(jié)級(jí)別。諺語包含了復(fù)雜的含義，而不是可以拆分的漢字！

　　傅立葉變換是關(guān)于周期（不是含有一個(gè)D形的正弦曲線）和歐拉公式的變換：

　　

　　我們必須用虛數(shù)做周期運(yùn)動(dòng)么？當(dāng)然不。即使那么做既方便又簡潔。我們把信號(hào)分成實(shí)數(shù)和虛數(shù)的部分，但別忘了前提是：我們在做周期運(yùn)動(dòng)。

　　沿著周期路徑

　　我們一邊用電話聊天，一邊在腦海里畫圓（你答應(yīng)了的！）。我該說什么呢？

　　這個(gè)圈兒該有多大呢？（幅度，半徑范圍的大?。?/p>

　　我們要畫得多快？（頻率。1周期/秒=1赫茲=2π弧度/秒）

　　從哪里開始呢？（相位角，0度對應(yīng)x軸）

　　我可以說“2英寸，起始于45度，1圈兒每秒，開始吧！”。半秒之后，我們應(yīng)該到達(dá)了同一點(diǎn)：起始位置+經(jīng)過角度=45+180=225度（2英寸半徑）。

　　

　　每個(gè)圓周路徑都需要設(shè)定大小、速度和起始角度（幅度/周期/相位）。我們還可以把它們合到一塊：想象用不同速度繞圈兒跑的小摩托車。

　　所有周期的位置信息加到一起就是原本的信號(hào)，一如所有的成分混合就得到了原本的思暮雪一樣。

　　下面是一個(gè)對基本圓周路徑的仿真：

　　（詳細(xì)、直觀的動(dòng)畫。需要瀏覽器。點(diǎn)擊圖像暫停/繼續(xù)。）

　　周期的時(shí)間順序顯示，開始于0Hz。周期［0 1］的含義是

　　0的意思是0Hz周期（0Hz=開始于x軸，0度相位的連續(xù)周期）

　　1的意思是1Hz周期（每個(gè)時(shí)間間隔完成一個(gè)周期）

　　現(xiàn)在是棘手的部分：

　　藍(lán)色圖像表示周期的實(shí)數(shù)部分。另一個(gè)可愛的數(shù)學(xué)問題：我們常用水平軸來表示每個(gè)周期的實(shí)軸，其數(shù)值在數(shù)值軸上顯示。你也可以把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)90度。

　　時(shí)間點(diǎn)間隔按照最高頻率設(shè)定。1Hz信號(hào)需要兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)來表示，分別記錄起始和終止時(shí)刻（一個(gè)信號(hào)值是沒有頻率的。）。時(shí)間值［1 -1］對應(yīng)著這些等間隔點(diǎn)的幅度。

　　然后呢？［0 1］是1Hz周期。

　　現(xiàn)在加入2Hz周期，并疊加。［0 1 1］意味著“0Hz值為零，1Hz時(shí)值為1，2Hz時(shí)值為1”：

　　哇塞。我們的小摩托車越跑越快了：綠線代表了1Hz和2Hz，藍(lán)線是疊加后結(jié)果。點(diǎn)選綠色復(fù)選框可以讓結(jié)果看起來更清晰?；旌虾玫摹拔兜馈笔且粋€(gè)傾斜的函數(shù)，從最大值開始，降到最低值。

　　黃點(diǎn)是我們測量信號(hào)的時(shí)刻。已經(jīng)確定了3個(gè)周期信號(hào)（0Hz， 1Hz， 2Hz），每個(gè)點(diǎn)為信號(hào)值的1/3.在這個(gè)例子里，周期［0 1 1］生成了時(shí)間量［2 -1 -1］，從最大值（2）開始，然后降到最低（-1）。

　　哦！剛才忘了考慮相位角了，現(xiàn)在我們要把它加上！加上數(shù)值：相位角。［0 1:45］是從45度開始的，1Hz的周期函數(shù)：

　　它是［0 1］的進(jìn)階版本。時(shí)域上，我們用［.7 -.7］替換［1 -1］。因?yàn)槲覀兊闹芷诤瘮?shù)并不是沿著我們的測量時(shí)方向上，它們是還在運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)（這是可被設(shè)置的）。

　　通過改變周期信號(hào)的頻率，強(qiáng)度和相位，傅立葉變換可以匹配任何時(shí)域信號(hào)。

　　信號(hào)所謂“時(shí)域觀測”或是“頻域成分”已成為一種抽象的概念。

　　說夠了，就讓我們把它講明白吧！你可以選擇模擬器里任何時(shí)間或類型的周期函數(shù)。如果它是時(shí)間表示的，你看到的許多構(gòu)成所要周期函數(shù)的點(diǎn)（其集合被稱為波）。

　　

　　但是——難道在黃色的時(shí)間間隔里不包括任何特殊的點(diǎn)么？當(dāng)然包括。但是我們怎么知道沒有測量的時(shí)候，信號(hào)是按照直線，曲線還是折線穿入另一象限呢？它在我們所需的等間隔時(shí)刻出現(xiàn)在我們希望的位置。

　　創(chuàng)造一個(gè)脈沖信號(hào)

　　我們可以用周期函數(shù)制造出一個(gè)脈沖信號(hào)么，像是（4 0 0 0）？（用括號(hào)表示時(shí)間點(diǎn)）

　　盡管脈沖看起來很煩人（難道只是煩人？），還是要考慮周期函數(shù)的復(fù)雜性。我們的周期成分必須對齊（最大值為4），然后向外傳播，每個(gè)周期函數(shù)都有其它函數(shù)可與其抵消。每個(gè)顯示為0的點(diǎn)，都是因?yàn)槎鄠€(gè)周期函數(shù)在此獲得平衡（你并不能關(guān)掉某個(gè)函數(shù)）。

　　讓我們看看每個(gè)時(shí)間點(diǎn)：

　　在0時(shí)刻，每個(gè)周期函數(shù)都處于最大值，（4？？？）由4個(gè)周期函數(shù)（0Hz 1Hz 2Hz 3Hz）疊加而成，每個(gè)函數(shù)的幅值都是1，而相位角都為0（換言之， 1 + 1 + 1 + 1 = 4）。

　　在之后的時(shí)刻（t = 1， 2， 3），所有周期函數(shù)的幅值必須相互抵消。

　　下面是數(shù)值為0的秘訣：當(dāng)周期函數(shù)的值處于對稱軸的兩端（南和北，東和西，等等。），它們的和為0（要是3個(gè)周期函數(shù)均勻的分布在0，120和240度，它們就能相互抵消）。

　　想象許多繞圈旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)。先面試每個(gè)點(diǎn)在每個(gè)時(shí)刻的位置：

　　時(shí)刻 0 1 2 3

　　------------

　　0Hz:0 0 0 0

　　1Hz:0 1 2 3

　　2Hz:0 2 0 2

　　3Hz:0 3 2 1

　　要注意，3Hz的周期信號(hào)從0開始，然后到了3，然后到了6（只有4個(gè)位置，6Mod，然后是9（9Mod4=1）。

　　每個(gè)周期長度為4個(gè)單位，周期函數(shù)在2個(gè)單位時(shí)的位置既不在一條線上（不同于0， 4， 8…），也不再相反的位置（不同于2， 6， 10…）。

　　好了。讓我們看看每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的情況：

　　時(shí)刻 0：所有的周期函數(shù)都處于最大值（其和為4）

　　時(shí)刻 1：1Hz和3Hz函數(shù)值相互抵消（位置1和3是相反的值），0Hz和2Hz函數(shù)值相互抵消。最后結(jié)果為0.

　　時(shí)刻 2：在0時(shí)刻，1Hz和3Hz函數(shù)值相等，在2時(shí)刻，0Hz和2Hz函數(shù)值相等（相反的值）。相加結(jié)果還是0.

　　時(shí)刻 3：0Hz和2Hz函數(shù)值相互抵消.1Hz和3Hz函數(shù)值相互抵消。

　　時(shí)刻4（重復(fù)時(shí)刻0的情況）：所有函數(shù)值相等。

　　秘訣在于讓相互獨(dú)立的函數(shù)相互抵消（0Hz 和 2Hz， 1Hz 和 3Hz），或是讓同方向上數(shù)值和相互抵消（0Hz + 2Hz 和 1Hz + 3Hz）。

　　當(dāng)每個(gè)周期屬性相等，相位為0時(shí)，就可以對齊并消去后面的值。（我并不能很好的證明這一點(diǎn)——有人能嗎？——但你可以自己看到其發(fā)生。試試［1 1］， ［1 1 1］， ［1 1 1 1］，你會(huì)注意到一個(gè)脈沖波峰：（2 0）， （3 0 0）， （4 0 0 0））。

　　這里直觀的顯示了怎么對齊，接下來是消去相反值：

　　

　　改變峰值時(shí)間

　　t=0時(shí)，什么都沒有發(fā)生。接下來換到（0 4 0 0）？

　　應(yīng)該和（4 0 0 0）看起來差不多，但是周期函數(shù)必須在t=1時(shí)（當(dāng)前時(shí)刻的1s后）對齊。然后要考慮相位。

　　想象有4個(gè)人參與的賽跑。賽跑開始時(shí)，4個(gè)人都在起跑線上，（4 0 0 0）。沒意思。

　　怎么能讓每個(gè)人都同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)呢？很簡單。只要讓他們不停的你追我趕就行了。也許奶奶在終點(diǎn)線前兩英尺，Usain Bolt離線還有100米，他們可以拉著手一起穿過終點(diǎn)線。

　　相位變化，起始角度就是周期信號(hào)世界里的延遲。接下來要說怎么調(diào)整起始位置，來者每個(gè)周期都延遲1秒：

　　0Hz周期函數(shù)不發(fā)生移動(dòng)，所以它已經(jīng)對齊了

　　1Hz函數(shù)在4秒完成一次往復(fù)，所有延時(shí)一秒意味著1/4輪。相位延遲90度（-90），然后它在t=1時(shí)刻到達(dá)相位0，其最大值。

　　2Hz函數(shù)的變化速度是1Hz函數(shù)的兩倍，所以要兩倍的角度來滿足要求（-180或180，分別沿著不同的方向）。

　　3Hz函數(shù)的速度是1Hz函數(shù)的3倍，所以要有3倍的移動(dòng)距離（-270或90度的相位改變）

　　如果時(shí)間點(diǎn)（4 0 0 0）是由函數(shù)［1 1 1 1］產(chǎn)生，那么（0 4 0 0）則是由［1 1：-90 1:180 1:90］產(chǎn)生。（ 注意： 此處用1Hz來表示一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的時(shí)間）。

　　天吶——我們在腦子里算出了周期函數(shù)！

　　干擾可視化是與之類似的，除了要在t=1時(shí)刻進(jìn)行對齊。

　　

　　試一下這個(gè)：你能想象出（0 0 4 0），即2秒延時(shí)時(shí)候的情況么？0Hz沒有相位。1Hz是180度，2Hz是360度（也就是0度），3Hz是540度（即180度），結(jié)果為［1 1:180 1 1:180］。

　　完整的傅立葉變換

　　事實(shí)上：我們的信號(hào)只不過是一大堆脈沖信號(hào)的疊加！只要得到每個(gè)時(shí)刻組分，你就能知道整個(gè)信號(hào)的成分。

　　傅立葉變換通過頻率得到“配方”：

　　把連續(xù)的信號(hào)（a b c d）分成不同的時(shí)刻：（a 0 0 0） （0 b 0 0） （0 0 c 0） （0 0 0 d）

　　任意頻率（例如2Hz），試驗(yàn)配方是“a/4 + b/4 + c/4 + d/4“（每個(gè)尖峰的強(qiáng)度被除以頻率數(shù)目）

　　等等！還要對每個(gè)脈沖設(shè)置延時(shí)（每一秒延時(shí)的角度取決于頻率）。

　　每個(gè)頻率真正的配方=a/4 （無延時(shí)） + b/4 （1秒延時(shí)） + c/4 （2秒延時(shí)） + d/4 （3秒延時(shí)）。

　　遍歷每個(gè)頻率就能得到完整的變換結(jié)果。

　　這就是從“數(shù)學(xué)文字”到真正數(shù)學(xué)的過程：

　　

　　幾個(gè)要點(diǎn)：

　　N=時(shí)間樣本的數(shù)量

　　n=當(dāng)前運(yùn)算的樣本編號(hào)（0 。。 N-1）

　　xn=n時(shí)刻信號(hào)值

　　k=當(dāng)前頻率（0Hz到N-1Hz）

　　Xk=信號(hào)中頻率k的值（幅度和相位，一個(gè)復(fù)數(shù)）

　　1/N被用于反變換（從時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)化為頻域信號(hào)）。這是可以實(shí)現(xiàn)的，盡管我更喜歡用1/N進(jìn)行正變換，它表示了脈沖信號(hào)的正真大小。你也在變換過程（正反變換中仍含有1/N）中使用1/sqrt（N）。

　　n/N是我們經(jīng)過的時(shí)間比例。2πk是單位為弧度/秒的速度，e^-ix是反向經(jīng)過的路徑。合起來就是以當(dāng)前時(shí)間和速度經(jīng)過的實(shí)際路程。

　　傅立葉變換的原始方程只告訴你“加上復(fù)數(shù)”。很多變成語言并不支持直接使用復(fù)數(shù)，因此要把它們轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系，然后相加。

　　讓我們開始吧

　　這是我遇到的最有挑戰(zhàn)性的課題。傅立葉變換涵蓋了幾個(gè)要點(diǎn)（離散/連續(xù)/有限長/無限長）的高深數(shù)學(xué)（狄拉克δ函數(shù)），很容易遺漏掉一些細(xì)節(jié)。這真的很挑戰(zhàn)我的認(rèn)知。

　　但仍有簡單的類比來說明這些——我拒絕用別的方式思考。無論是思暮雪還是Usain Bolt & Granny穿過終點(diǎn)線，都能讓我們輕易的理解這一點(diǎn)。這個(gè)比喻是有缺陷的，但不算壞：它是一個(gè)木筏使用，一旦我們過河就把它們留下。

　　我意識(shí)到我自己的理解是如何薄弱，我沒辦法在自己的腦海里想出（1 0 0 0 ）的變換。對我來說，就像，我懂加法。但是，“1+1+1+1”到底等于幾呢？為什么不呢？難道這些最簡單的運(yùn)算不該有個(gè)直觀的展示么？