帶通響應(yīng)：有源濾波器的相位響應(yīng)

出于考察目的，有源濾波器的傳遞函數(shù)實(shí)際上是濾波器傳遞 函數(shù)和放大器傳遞函數(shù)的級(jí)聯(lián)（見圖1）。

圖1． 濾波器作為兩個(gè)傳遞函數(shù)的級(jí)聯(lián)。

帶通傳遞函數(shù)

把低通原型的分子改為

結(jié)果將把濾波器變成一個(gè)帶通 函數(shù)。這會(huì)在傳遞函數(shù)內(nèi)引入一個(gè)零點(diǎn)。分子中的一個(gè)s得到 一個(gè)零點(diǎn)，分母中的一個(gè)s得到極點(diǎn)。零點(diǎn)將產(chǎn)生頻率上升響 應(yīng)，而極點(diǎn)將產(chǎn)生頻率下降響應(yīng)。

二階帶通濾波器的傳遞函數(shù)變?yōu)椋?/p>

此處的ω為濾波器增益峰值化時(shí)的頻率 （F0 ＝ 2 π ω0）

H0 為電路增益（Q峰值化），定義為：

其中，H為濾波器實(shí)現(xiàn)的增益。

對(duì)帶通響應(yīng)來說，Q有特殊意義。它是濾波器的選擇性。定義為：

其中，F(xiàn)L和FH為響應(yīng)比最大值相差–3 dB時(shí)的頻率。

濾波器的帶寬 （BW） 定義為：

可以證明，諧振頻率 （F0）為 FL 和 FH的幾何平均值，這就意味著，F(xiàn)0 在對(duì)數(shù)尺度上將出現(xiàn)在FL 和 FH 二者的中點(diǎn)。

另需注意的是，在對(duì)數(shù)尺度上，帶通響應(yīng)的波裙在 F0 左右始終是對(duì)稱的。

帶通濾波器對(duì)各種Q值的幅度響應(yīng)如圖2所示。在此圖中，中心頻率的增益歸一化為1 （0 dB）。

圖2． 歸一化的帶通濾波器幅度響應(yīng)

雖然本文主要關(guān)注相位響應(yīng)，但了解下濾波器幅度響應(yīng)也很有用。

這里需要提醒一下。帶通濾波器有兩種定義方式。窄帶情況為經(jīng)典定義，如上文所示。然而，在某些情況下，如果高、低截止頻率相差很大，則帶通濾波器采用獨(dú)立的高通和低通部分進(jìn)行構(gòu)造。這里所說的相差很大是說至少相差2個(gè)倍頻程（頻率×4）。這就是寬帶情況。本文中，我們主要關(guān)注窄帶情況。對(duì) 于寬帶情況，可將濾波器視為獨(dú)立的高通和低通部分。

雖然帶通濾波器可用巴特沃茲、貝塞爾或切比雪夫等標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)定義，但它們也通常按照其Q和F0定義。

帶通濾波器的相位響應(yīng)為：

請(qǐng)注意，不存在單極點(diǎn)帶通濾波器。

圖3． 歸一化的帶通濾波器相位響應(yīng)

圖3從中心頻率的1％到中心頻率的100倍對(duì)公式6進(jìn)行估值。中心頻率的相移為0°。中心頻率為1，Q等于0．707。此Q與前一篇文章中使用的Q相同，但該篇文章中我們使用的是α。記 住，α ＝ 1／Q。

觀察后發(fā)現(xiàn)，此曲線的形狀基本上與低通（和相應(yīng)的高通） 的曲線形狀相同。但是，本例中相移從中心頻率下方90°開 始，在中心頻率處趨于0°，最后結(jié)束于中心頻率上方–90°。

在圖4中，我們考察了在Q不斷變化時(shí)帶通濾波器的相位響 應(yīng)。觀察傳遞函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，相位變化可能發(fā)生在相對(duì)較大 的頻率范圍內(nèi)，變化的范圍與電路的Q成反比。同樣，在觀察 后發(fā)現(xiàn)，曲線的形狀與低通（和高通）響應(yīng)相同，僅范圍有 差異。

圖4． Q不斷變化時(shí)歸一化的帶通濾波器相位響應(yīng)

放大器傳遞函數(shù)

之前的部分顯示，傳遞函數(shù)基本上就是單極點(diǎn)濾波器的傳遞 函數(shù)。雖然放大器的相移通常被忽視，但它可影響復(fù)合濾波 器的整體傳遞。本文隨機(jī)選擇了AD822 用于濾波器的仿真。 這樣選擇的部分原因是為了最大程度地降低對(duì)濾波器傳遞函 數(shù)的影響。這是因?yàn)?，放大器相移的頻率明顯高于濾波器本 身的轉(zhuǎn)折頻率。AD822的傳遞函數(shù)如圖5所示，其信息直接取 自數(shù)據(jù)手冊(cè)。

圖5． AD822波特圖增益和相位。

示例1：Q ＝ 20 的1 kHz 2 極點(diǎn)帶通濾波器

第一個(gè)示例開始時(shí)是作為帶通設(shè)計(jì)的濾波器。我們隨意選擇 了一個(gè)1 kHz的中心頻率和數(shù)值為20的Q。由于Q在較高的一 側(cè)，因此我們將使用雙放大器帶通 （DABP） 配置。同樣，這 是隨意選擇的。

我們使用參考1的設(shè)計(jì)公式。相應(yīng)的電路如圖6所示：

圖6． 1 kHz、Q ＝ 20的DABP帶通濾波器。

本文中我們主要關(guān)注相位，但我認(rèn)為考察下幅度響應(yīng)也很有用。

圖7． 1 kHz、Q ＝ 20的DABP帶通濾波器幅度響應(yīng)。

圖8所示為相位響應(yīng)：

圖8． 1 kHz、Q ＝ 20的DABP帶通濾波器相位響應(yīng)。

應(yīng)當(dāng)注意，DABP配置為同相。圖8與圖3一致。

示例2：從1 kHz、3 極點(diǎn)0．5 dB 切比雪夫低通到帶通濾波器的轉(zhuǎn)換

濾波器原理以低通原型為基礎(chǔ)，低通原型可以其他形式表示。本例使用的原型是1 kHz、3極點(diǎn)、0．5 dB切比雪夫?yàn)V波器。選擇切比雪夫?yàn)V波器是因?yàn)?，如果響?yīng)不正確，它可以 顯示得更清楚。例如，通帶中的紋波將不會(huì)排成一行。在本例中，巴特沃茲濾波器可能過于寬松。選擇3極點(diǎn)濾波器是為 了能夠轉(zhuǎn)換一個(gè)極點(diǎn)對(duì)和單個(gè)極點(diǎn)。

LP 原型的極點(diǎn)位置（來自參考1）為：

第一級(jí)為極點(diǎn)對(duì)，第二級(jí)為單極點(diǎn)。請(qǐng)注意，用α表示兩個(gè)完 全不同的參數(shù)的做法是不可取的。左側(cè)的α和β為復(fù)平面上的 極點(diǎn)位置。這些是轉(zhuǎn)換算法中使用的值。右側(cè)的α為1／Q，這 正是物理濾波器設(shè)計(jì)等式所希望看到的。

現(xiàn)在，低通原型被轉(zhuǎn)換成了帶通濾波器。參考1中列出的一系 列等式用于轉(zhuǎn)換。原型濾波器的每個(gè)極點(diǎn)都將轉(zhuǎn)換成一個(gè)極 點(diǎn)對(duì)。因此，轉(zhuǎn)換完成時(shí)，3極點(diǎn)原型將擁有6個(gè)極點(diǎn)（3個(gè)極 點(diǎn)對(duì)）。此外，原點(diǎn)處將有6個(gè)零點(diǎn)。不存在單極點(diǎn)帶通。

轉(zhuǎn)換過程的部分工作是指定可合成的濾波器的3 dB 帶寬。在 這種情況下，該帶寬將被設(shè)為500 Hz。產(chǎn)生的轉(zhuǎn)換結(jié)果如下：

實(shí)際上，先將更低的增益和Q部分放入串中可能很有用，因?yàn)?這可最大程度地提高信號(hào)電平處理能力。前兩級(jí)存在增益要 求的原因在于，相對(duì)于總濾波器中心頻率，它們的中心頻率 將會(huì)衰減（也就是說，它們將在其他部分的波裙上）。

由于結(jié)果得到的Q適中（小于20），因而將選用多級(jí)反饋拓?fù)?結(jié)構(gòu)。我們使用參考1中多路反饋帶通濾波器的設(shè)計(jì)方程設(shè)計(jì) 濾波器。圖9顯示了濾波器本身的原理圖。

圖9． 1 kHz、6極點(diǎn)、0．5 dB切比雪夫帶通濾波器。

圖10中可以看到完整濾波器的相移。曲線圖單獨(dú)顯示了第一 部分的相移（第1部分）、前兩個(gè)部分的組合相移（第2部 分），以及完整濾波器的相移（第3部分）。這些曲線顯示了 ＂實(shí)際＂濾波器部分的相移，其中包括放大器的相移和濾波器 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的反相。

圖10中有幾點(diǎn)細(xì)節(jié)需要注意。第一，相位響應(yīng)具有累積性。第 一部分顯示了180°的相位變化（濾波函數(shù)的相移，忽視了濾波 器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相移）。第二部分顯示了因具有兩部分而產(chǎn)生的 360°相位變化，每個(gè)部分180°。記住，360° ＝ 0°。第三部分顯 示了540°的相移，每個(gè)部分180°。還應(yīng)注意，在高于10 kHz的 頻率處，我們開始看到相位因放大器響應(yīng)而輕微滾降。還可以 看出，滾降也具有累積性，會(huì)隨著每個(gè)部分而增大。

圖10． 1 kHz、6極點(diǎn)、0．5 dB切比雪夫帶通濾波器的相位響應(yīng)。

在圖11中我們可以看到完整濾波器的幅度響應(yīng)。

圖11． 1 kHz、6極點(diǎn)、0．5 dB切比雪夫帶通濾波器的幅度響應(yīng)。

結(jié)論

本文討論的是帶通濾波器的相移。在前面幾篇文章中，我們 考察了與濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相關(guān)的相移以及低通和高通拓?fù)浣Y(jié) 構(gòu)的相移。在后續(xù)文章中，我們將考察陷波濾波器和全通濾 波器。在最后一期，我們將總結(jié)并考察相移如何影響濾波器 的瞬態(tài)響應(yīng)，同時(shí)還會(huì)考察群延遲、脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)， 以及它們對(duì)信號(hào)的意義。