卡曼濾波器入門教程數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1

揭開其背后的背景知識

在正式開始之前，我想解釋幾個基本術(shù)語，如方差、標準差、正態(tài)分布、估計、準確度、精度、均值、期望值和隨機變量。

我希望本教程的讀者都熟悉基礎(chǔ)性的統(tǒng)計學(xué)知識，然而，在本教程開始時，我承諾提供必要的背景知識，以了解卡爾曼濾波器的工作原理，如果您熟悉本主題，請?zhí)^本章并跳到下一節(jié)。

平均值和期望值

均值和期望值是密切相關(guān)的術(shù)語，然而，它們是有區(qū)別的，例如，給定五種不同的硬幣——兩種5美分硬幣和三種10美分硬幣，我們可以很容易地通過平均硬幣的面值來計算平均值。

上述結(jié)果不能定義為期望值，因為系統(tǒng)狀態(tài)（硬幣值）不是隱性的，我們能夠獲取所有樣本（所有5枚硬幣）進行平均值計算。

現(xiàn)在假設(shè)從同一個人得到五種不同的體重測量結(jié)果：79.8kg、80kg、80.1kg、79.8kg和80.2kg，那么，人是系統(tǒng)，人的體重是系統(tǒng)狀態(tài)。

由于隨機測量誤差的存在，導(dǎo)致測量結(jié)果不同，我們不知道重量的真實值，因為它是一種隱藏狀態(tài)，然而，我們可以通過平均天平秤的測量值來估計其重量。

估計的結(jié)果就是體重的期望值，期望值是您期望隱藏變量在長時間或多次試驗中趨向的值，平均值通常用希臘字母μ表示，字母E通常表示期望值。

方差和標準差

方差是數(shù)據(jù)集與平均值分散程度的度量，標準偏差是方差的平方根， 標準偏差用希臘字母σ（sigma）表示。因此，方差用σ2表示。

假設(shè)我們想比較兩支高中籃球隊球員的身高，下表提供了球員的身高和每個隊的平均身高：

正如我們所看到的，兩支球隊的平均身高是相同的，讓我們檢查一下身高的方差：

由于方差度量的是數(shù)據(jù)集的分散程度，我們希望知道數(shù)據(jù)集與其平均值的方差，我們可以通過從每個變量中減去平均值來計算每個變量與平均值的距離，高度用x表示，高度的平均值用希臘字母μ表示，每個變量與平均值的距離為：

下表列出了每個變量與平均值的距離：

有些值為負值，為了去掉負值，讓我們將計算距離的平方：

下表給出了每個變量與平均值的平方距離：

為了計算數(shù)據(jù)集的方差，我們需要計算所有平方距離的平均值：

對于團隊A，方差為：

對于團隊B，方差為：

我們可以看到，雖然兩支球隊的平均值相同，但A隊的身高分散程度高于B隊的身高分散程度，A隊球員與B對相比，類型更加豐富多樣，有不同位置的球員，如控球手、中鋒和后衛(wèi)。

方差單位為平方米；查看標準偏差更方便，它是方差的平方根：

A隊球員身高的標準偏差為0.12米。B隊球員身高的標準偏差為0.036米。

現(xiàn)在，假設(shè)我們想計算所有高中籃球運動員的均值和方差，這將是一項艱巨的任務(wù)——我們需要收集每一所高中的每一位球員的數(shù)據(jù)。

然而，我們可以通過抽取一個比較大的樣本并對該數(shù)據(jù)集進行計算來估計球員的均值和方差。

包含100個隨機選擇的球員數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集應(yīng)該足以進行準確的估計。

然而，當我們估計方差時，方差計算公式略有不同。我們將用因子N-1來歸一化，而不是用因子N進行歸一化:

N?1稱為貝塞爾修正。

你可以在visiondummy或維基百科上看到上述方程的數(shù)學(xué)證明。